多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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1.简单
xyx = 2y = 222

在矩形 0 ≤ x ≤ 2，0 ≤ y ≤ 2 上计算 I = ∫02 ∫02 (x·e0.5y) dy dx。

f = x·e0.5y0 ≤ x ≤ 20 ≤ y ≤ 2
I =
2.简单

对于 f(x, y) = 2y·exy，求在 (2, 0.5) 处的混合二阶偏导数 ∂²f/∂x∂y。

f(x, y) = 2y·exyP = (2, 0.5)
fxy(2, 0.5) =
3.中等
xy−10123−4−20vP

对于 f(x, y) = 3 ln(x² + 3y²)，求在 (1, −1) 处沿 v = (−1, −3) 方向的方向导数 Duf。

f(x, y) = 3 ln(x² + 3y²)P = (1, −1)v = (−1, −3)
Duf =
4.中等

z = 2x²e0.5y，其中 x = 3t + 1，y = −2t²。用链式法则求 t = 2 时的 dz/dt。

z = 2x²e0.5yx = 3t + 1y = −2t²t = 2
dz/dt =
5.困难
xy−505−2024AB

图中标出的点是 f(x, y) = x³ − 27x + y² − 2y 的临界点。点选局部极小值。

f(x, y) = x³ − 27x + y² − 2y
  1. 1A (−3, 1)
  2. 2B (3, 1)
6.困难
xyy = 4xy = x²416

计算 I = ∬R y dA，其中 R 是抛物线 y = x² 与直线 y = 4x 之间的区域。

y = x²y = 4xf = y
I =

答案

  1. 1. I = 6.873
  2. 2. fxy(2, 0.5) = 8.155
  3. 3. Duf = 3.795
  4. 4. dz/dt = −5.641
  5. 5. B (3, 1)
  6. 6. I = 68.27

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