多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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姓名: ____________________   日期: ____________

1.简单
xy−1−1P

对于 f(x, y) = 2 sin(−x − 2y)，求在点 (−1, −1) 处的偏导数 ∂f/∂x。

f(x, y) = 2 sin(−x − 2y)P = (−1, −1)
fx(−1, −1) =
2.简单
xy22P

对于 f(x, y) = 3x²y + 3x² − 4y² + xy，求在点 (2, 2) 处的偏导数 ∂f/∂y。

f(x, y) = 3x²y + 3x² − 4y² + xyP = (2, 2)
fy(2, 2) =
3.中等
xy−4−200246PQ

对于 f(x, y) = −2x³y³ + 2x² + y³ − xy，求在 P(−2, 2) 处朝向 Q(1, 6) 方向的方向导数 Duf。

f(x, y) = −2x³y³ + 2x² + y³ − xyP = (−2, 2)Q = (1, 6)
Duf =
4.中等
xy−12∇fP

对于 f(x, y) = 5x²y² + x³ + y³ − 4xy，求 f 在点 (−1, 2) 处的最大变化率，即 |∇f|。

f(x, y) = 5x²y² + x³ + y³ − 4xyP = (−1, 2)
|∇f| =
5.困难
xy30.5

用极坐标计算 I = ∬R √(x² + y²) dA，其中 R 是圆环 0.25 ≤ x² + y² ≤ 9。

f = √(x² + y²)0.5 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ 2π
I =
6.困难
xy−202−202(0, 0)(2, 2)(−2, −2)

求 f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy 的临界点，对它们分类，并给出 f 在其局部极小值处的值 fmin。

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy
fmin =

答案

  1. 1. fx(−1, −1) = 1.98
  2. 2. fy(2, 2) = −2
  3. 3. Duf = 43.6
  4. 4. |∇f| = 57.63
  5. 5. I = 56.29
  6. 6. fmin = −32

完整分步解答：请在 examproblems.com 上练习本主题。