多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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1.简单

对于 f(x, y) = 3 sin(3x + 3y)，求在 (−1, 2) 处的混合二阶偏导数 ∂²f/∂x∂y。

f(x, y) = 3 sin(3x + 3y)P = (−1, 2)
fxy(−1, 2) =
2.简单
xyx = 3y = 5y = 2352

在矩形 0 ≤ x ≤ 3，2 ≤ y ≤ 5 上计算 I = ∫03 ∫25 (2x·ey) dy dx。

f = 2x·ey0 ≤ x ≤ 32 ≤ y ≤ 5
I =
3.中等

z = −2x²y² − 3x³ − 5y² + 4xy，其中 x = −2t − 1，y = t² − 2。用链式法则求 t = 0 时的 dz/dt。

z = −2x²y² − 3x³ − 5y² + 4xyx = −2t − 1y = t² − 2t = 0
dz/dt =
4.中等
xy2−1P

利用 f(x, y) = 5 sin(3x + 2y) 在 (2, −1) 处的切平面来近似 f(1.9, −1.1)。给出线性近似值 L。

f(x, y) = 5 sin(3x + 2y)(a, b) = (2, −1)(x, y) = (1.9, −1.1)
L =
5.困难
xy05−2024(3, 2)

f(x, y) = −2x² + 5xy − 2y² + 2x − 7y + 1 在 (3, 2) 处有一个临界点。计算该点的判别式 D = fxxfyy − fxy²。

f(x, y) = −2x² + 5xy − 2y² + 2x − 7y + 1P = (3, 2)
D =
6.困难
xy1

用极坐标计算 I = ∬R (x² + y²) dA，其中 R 是圆盘 x² + y² ≤ 1。

f = x² + y²0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ 2π
I =

答案

  1. 1. fxy(−1, 2) = −3.81
  2. 2. I = 1269
  3. 3. dz/dt = 2
  4. 4. L = −2.15
  5. 5. D = −9
  6. 6. I = 1.571

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