多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

教师请注意： 可免费打印、复印并在课堂上使用。每份新练习题都有新的数值和独立的答案。欢迎在课程页面添加指向 ExamProblems 的链接。

姓名: ____________________   日期: ____________

1.简单
xy−11P

对于 f(x, y) = x³y − 2y³ − 4xy，求在点 (−1, 1) 处的偏导数 ∂f/∂x。

f(x, y) = x³y − 2y³ − 4xyP = (−1, 1)
fx(−1, 1) =
2.简单
xy−1−1P

对于 f(x, y) = −2x³y² − 2x² + 4y³ + 4xy，求在点 (−1, −1) 处的偏导数 ∂f/∂x。

f(x, y) = −2x³y² − 2x² + 4y³ + 4xyP = (−1, −1)
fx(−1, −1) =
3.中等
xy−500246vP

对于 f(x, y) = −4x²y² + 2x³ + 4y² + 4xy，求在 (−1, 3) 处沿 v = (0, 2) 方向的方向导数 Duf。

f(x, y) = −4x²y² + 2x³ + 4y² + 4xyP = (−1, 3)v = (0, 2)
Duf =
4.中等
xy−500246vP

对于 f(x, y) = 3x²y² + 4x³ − 5y² − 4xy，求在 (−2, 3) 处沿 v = (2, −1) 方向的方向导数 Duf。

f(x, y) = 3x²y² + 4x³ − 5y² − 4xyP = (−2, 3)v = (2, −1)
Duf =
5.困难
xy1.5

用极坐标计算 I = ∬R (x² + y²) dA，其中 R 是圆盘 x² + y² ≤ 2.25 的上半部分 (y ≥ 0)。

f = x² + y²0 ≤ r ≤ 1.50 ≤ θ ≤ π
I =
6.困难
xyx = 1y = x1

积分 I = ∫01 ∫y1 sin(x²) dx dy 无法按这个顺序计算。请交换积分顺序并计算它。

f = sin(x²)0 ≤ y ≤ x ≤ 1
I =

答案

  1. 1. fx(−1, 1) = −1
  2. 2. fx(−1, −1) = −6
  3. 3. Duf = −4
  4. 4. Duf = −86.76
  5. 5. I = 3.976
  6. 6. I = 0.2298

完整分步解答：请在 examproblems.com 上练习本主题。