多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

教师请注意： 可免费打印、复印并在课堂上使用。每份新练习题都有新的数值和独立的答案。欢迎在课程页面添加指向 ExamProblems 的链接。

姓名: ____________________   日期: ____________

1.简单
xyx = 1x = 3y = 1131

在矩形 1 ≤ x ≤ 3，0 ≤ y ≤ 1 上计算 I = ∫13 ∫01 (5x²y − 2) dy dx。

f = 5x²y − 21 ≤ x ≤ 30 ≤ y ≤ 1
I =
2.简单
xy0.51P

对于 f(x, y) = 2 sin(−x − 2y)，求在点 (0.5, 1) 处的偏导数 ∂f/∂x。

f(x, y) = 2 sin(−x − 2y)P = (0.5, 1)
fx(0.5, 1) =
3.中等
xy−11∇fP

对于 f(x, y) = ln(x² + 3y²)，求 f 在点 (−1, 1) 处的最大变化率，即 |∇f|。

f(x, y) = ln(x² + 3y²)P = (−1, 1)
|∇f| =
4.中等
xy−202024vP

对于 f(x, y) = 3x³y³ − x³ − y² + xy，求在 (1, 1) 处沿 v = (−4, 4) 方向的方向导数 Duf。

f(x, y) = 3x³y³ − x³ − y² + xyP = (1, 1)v = (−4, 4)
Duf =
5.困难
xy−20−2−101(0, 0)(−1, −1)

f(x, y) = x³ + y³ + 3xy 在 (0, 0) 处有一个临界点。计算该点的判别式 D = fxxfyy − fxy²。

f(x, y) = x³ + y³ + 3xyP = (0, 0)
D =
6.困难
xy−4−202−2024(−2, 3)

求 f(x, y) = −2x² + 2xy − y² − 14x + 10y 的临界点，对它们分类，并给出 f 在其局部极大值处的值 fmax。

f(x, y) = −2x² + 2xy − y² − 14x + 10y
fmax =

答案

  1. 1. I = 17.67
  2. 2. fx(0.5, 1) = 1.602
  3. 3. |∇f| = 1.581
  4. 4. Duf = 0.7071
  5. 5. D = −9
  6. 6. fmax = 29

完整分步解答：请在 examproblems.com 上练习本主题。