多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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姓名: ____________________   日期: ____________

1.简单
xy21P

对于 f(x, y) = sin(x + 3y)，求在点 (2, 1) 处的偏导数 ∂f/∂y。

f(x, y) = sin(x + 3y)P = (2, 1)
fy(2, 1) =
2.简单
xyx = 1x = 3y = 5y = 21352

在矩形 1 ≤ x ≤ 3，2 ≤ y ≤ 5 上计算 I = ∫13 ∫25 (6x²y² + 3) dy dx。

f = 6x²y² + 31 ≤ x ≤ 32 ≤ y ≤ 5
I =
3.中等
xy−4−202−4−20PQ

对于 f(x, y) = x²y³ − x³ − 4y³ − 2xy，求在 P(−2, −2) 处朝向 Q(2, −3) 方向的方向导数 Duf。

f(x, y) = x²y³ − x³ − 4y³ − 2xyP = (−2, −2)Q = (2, −3)
Duf =
4.中等

z = sin(−2x − y)，其中 x = −t − 2，y = 2t² − 1。用链式法则求 t = 2 时的 dz/dt。

z = sin(−2x − y)x = −t − 2y = 2t² − 1t = 2
dz/dt =
5.困难
xy1

用极坐标计算 I = ∬R y dA，其中 R 是圆盘 x² + y² ≤ 1 的上半部分 (y ≥ 0)。

f = y0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ π
I =
6.困难
xy−202−20(0, −2)

f(x, y) = −2x² − xy − 2y² − 2x − 8y − 3 在 (0, −2) 处有一个临界点。计算该点的判别式 D = fxxfyy − fxy²。

f(x, y) = −2x² − xy − 2y² − 2x − 8y − 3P = (0, −2)
D =

答案

  1. 1. fy(2, 1) = 0.851
  2. 2. I = 2046
  3. 3. Duf = 22.31
  4. 4. dz/dt = −3.242
  5. 5. I = 0.6667
  6. 6. D = 15

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