多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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姓名: ____________________   日期: ____________

1.简单
xyx = 1x = 2y = 1121

在矩形 1 ≤ x ≤ 2，0 ≤ y ≤ 1 上计算 I = ∫12 ∫01 (6xy − 2) dy dx。

f = 6xy − 21 ≤ x ≤ 20 ≤ y ≤ 1
I =
2.简单
xyx = 3y = 232

在矩形 0 ≤ x ≤ 3，0 ≤ y ≤ 2 上计算 I = ∫03 ∫02 (5y − 3) dy dx。

f = 5y − 30 ≤ x ≤ 30 ≤ y ≤ 2
I =
3.中等
xy−1−1∇fP

对于 f(x, y) = 2y·e2xy，求 f 在点 (−1, −1) 处的最大变化率，即 |∇f|。

f(x, y) = 2y·e2xyP = (−1, −1)
|∇f| =
4.中等

z = 4xy² − 3x² − 3y³ − xy，其中 x = 3t + 1，y = −2t² − 2。用链式法则求 t = 0 时的 dz/dt。

z = 4xy² − 3x² − 3y³ − xyx = 3t + 1y = −2t² − 2t = 0
dz/dt =
5.困难
xy1

用极坐标计算 I = ∬R √(x² + y²) dA，其中 R 是圆盘 x² + y² ≤ 1。

f = √(x² + y²)0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ 2π
I =
6.困难
xy−202−202(0, 0)(2, 2)(−2, −2)

求 f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy 的临界点，对它们分类，并给出 f 在其局部极小值处的值 fmin。

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy
fmin =

答案

  1. 1. I = 2.5
  2. 2. I = 12
  3. 3. |∇f| = 53.28
  4. 4. dz/dt = 36
  5. 5. I = 2.094
  6. 6. fmin = −32

完整分步解答：请在 examproblems.com 上练习本主题。