多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

教师请注意： 可免费打印、复印并在课堂上使用。每份新练习题都有新的数值和独立的答案。欢迎在课程页面添加指向 ExamProblems 的链接。

姓名: ____________________   日期: ____________

1.简单

对于 f(x, y) = −2x³y + 5x³ + 2y² + 4xy，求在 (−1, 1) 处的混合二阶偏导数 ∂²f/∂x∂y。

f(x, y) = −2x³y + 5x³ + 2y² + 4xyP = (−1, 1)
fxy(−1, 1) =
2.简单

对于 f(x, y) = 4xy − 2x³ + 5y³，求在 (2, 1) 处的二阶偏导数 ∂²f/∂y²。

f(x, y) = 4xy − 2x³ + 5y³P = (2, 1)
fyy(2, 1) =
3.中等

z = 3 ln(x² + 3y²)，其中 x = −2t − 2，y = −2t²。用链式法则求 t = 0 时的 dz/dt。

z = 3 ln(x² + 3y²)x = −2t − 2y = −2t²t = 0
dz/dt =
4.中等
xy−4−20024PQ

对于 f(x, y) = −4x³y + 4x³ − y³ + 2xy，求在 P(−2, 2) 处朝向 Q(−5, 0) 方向的方向导数 Duf。

f(x, y) = −4x³y + 4x³ − y³ + 2xyP = (−2, 2)Q = (−5, 0)
Duf =
5.困难
xy1

用极坐标计算 I = ∬R √(x² + y²) dA，其中 R 是圆盘 x² + y² ≤ 1 的上半部分 (y ≥ 0)。

f = √(x² + y²)0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ π
I =
6.困难
xy3

用极坐标计算 I = ∬R √(x² + y²) dA，其中 R 是圆盘 x² + y² ≤ 9 在第一象限的四分之一。

f = √(x² + y²)0 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ π/2
I =

答案

  1. 1. fxy(−1, 1) = −2
  2. 2. fyy(2, 1) = 30
  3. 3. dz/dt = 6
  4. 4. Duf = 27.74
  5. 5. I = 1.047
  6. 6. I = 14.14

完整分步解答：请在 examproblems.com 上练习本主题。