多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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姓名: ____________________   日期: ____________

1.简单
xy12P

对于 f(x, y) = 3 ln(x² + 4y²)，求在点 (1, 2) 处的偏导数 ∂f/∂x。

f(x, y) = 3 ln(x² + 4y²)P = (1, 2)
fx(1, 2) =
2.简单

对于 f(x, y) = sin(−3x + 2y)，求在 (2, 1) 处的混合二阶偏导数 ∂²f/∂x∂y。

f(x, y) = sin(−3x + 2y)P = (2, 1)
fxy(2, 1) =
3.中等
xy−1−1P

利用 f(x, y) = −3x³y³ − 2x³ + 3y³ + 4xy 在 (−1, −1) 处的切平面来近似 f(−0.9, −0.9)。给出线性近似值 L。

f(x, y) = −3x³y³ − 2x³ + 3y³ + 4xy(a, b) = (−1, −1)(x, y) = (−0.9, −0.9)
L =
4.中等
xy1−1∇fP

对于 f(x, y) = −4x³y² − 3x³ − 2y³ + 4xy，求 f 在点 (1, −1) 处的最大变化率，即 |∇f|。

f(x, y) = −4x³y² − 3x³ − 2y³ + 4xyP = (1, −1)
|∇f| =
5.困难
xyx = 2y = x2

积分 I = ∫02 ∫y2 cos(x²) dx dy 无法按这个顺序计算。请交换积分顺序并计算它。

f = cos(x²)0 ≤ y ≤ x ≤ 2
I =
6.困难
xy05−2024(0, 0)(3, 3)

求 f(x, y) = x³ + y³ − 9xy 的临界点，对它们分类，并给出 f 在其局部极小值处的值 fmin。

f(x, y) = x³ + y³ − 9xy
fmin =

答案

  1. 1. fx(1, 2) = 0.3529
  2. 2. fxy(2, 1) = 4.541
  3. 3. L = 1.3
  4. 4. |∇f| = 25.71
  5. 5. I = −0.3784
  6. 6. fmin = −27

完整分步解答：请在 examproblems.com 上练习本主题。