多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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1.简单

对于 f(x, y) = −4x³y² − x³ − 5y² − 3xy，求在 (−1, 1) 处的二阶偏导数 ∂²f/∂x²。

f(x, y) = −4x³y² − x³ − 5y² − 3xyP = (−1, 1)
fxx(−1, 1) =
2.简单

对于 f(x, y) = 3 ln(x² + 3y²)，求在 (−1, 2) 处的混合二阶偏导数 ∂²f/∂x∂y。

f(x, y) = 3 ln(x² + 3y²)P = (−1, 2)
fxy(−1, 2) =
3.中等
xy0.52∇fP

对于 f(x, y) = sin(−x + y)，求 f 在点 (0.5, 2) 处的最大变化率，即 |∇f|。

f(x, y) = sin(−x + y)P = (0.5, 2)
|∇f| =
4.中等
xy05−4−20vP

对于 f(x, y) = −3x²y² + x² + 2y² − 2xy，求在 (3, −2) 处沿 v = (−1, 0) 方向的方向导数 Duf。

f(x, y) = −3x²y² + x² + 2y² − 2xyP = (3, −2)v = (−1, 0)
Duf =
5.困难
xy3

用极坐标计算 I = ∬R y dA，其中 R 是圆盘 x² + y² ≤ 9 的上半部分 (y ≥ 0)。

f = y0 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ π
I =
6.困难
xy05−2024(0, 0)(3, 3)

f(x, y) = x³ + y³ − 9xy 在 (0, 0) 处有一个临界点。计算该点的判别式 D = fxxfyy − fxy²。

f(x, y) = x³ + y³ − 9xyP = (0, 0)
D =

答案

  1. 1. fxx(−1, 1) = 30
  2. 2. fxy(−1, 2) = 0.426
  3. 3. |∇f| = 0.1
  4. 4. Duf = 62
  5. 5. I = 18
  6. 6. D = −81

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