多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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姓名: ____________________   日期: ____________

1.简单
xyx = 2x = 3y = 5y = 22352

在矩形 2 ≤ x ≤ 3，2 ≤ y ≤ 5 上计算 I = ∫23 ∫25 (2y²) dy dx。

f = 2y²2 ≤ x ≤ 32 ≤ y ≤ 5
I =
2.简单

对于 f(x, y) = 5xy² − 5y² + 3xy，求在 (−1, −1) 处的混合二阶偏导数 ∂²f/∂x∂y。

f(x, y) = 5xy² − 5y² + 3xyP = (−1, −1)
fxy(−1, −1) =
3.中等

z = 2xy − x³ + 5y³，其中 x = −3t + 2，y = −2t² + 1。用链式法则求 t = 1 时的 dz/dt。

z = 2xy − x³ + 5y³x = −3t + 2y = −2t² + 1t = 1
dz/dt =
4.中等

z = −2x²y² − 4x² − 4y² + 3xy，其中 x = 3t − 1，y = −t²。用链式法则求 t = 0 时的 dz/dt。

z = −2x²y² − 4x² − 4y² + 3xyx = 3t − 1y = −t²t = 0
dz/dt =
5.困难
xy1.5

用极坐标计算 I = ∬R (x² + y²) dA，其中 R 是圆盘 x² + y² ≤ 2.25 的上半部分 (y ≥ 0)。

f = x² + y²0 ≤ r ≤ 1.50 ≤ θ ≤ π
I =
6.困难
xy−505−2024(3, 3)(−3, 3)

f(x, y) = x³ − 27x + y² − 6y 在 (−3, 3) 处有一个临界点。计算该点的判别式 D = fxxfyy − fxy²。

f(x, y) = x³ − 27x + y² − 6yP = (−3, 3)
D =

答案

  1. 1. I = 78
  2. 2. fxy(−1, −1) = −7
  3. 3. dz/dt = −37
  4. 4. dz/dt = 24
  5. 5. I = 3.976
  6. 6. D = −36

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