多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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姓名: ____________________   日期: ____________

1.简单
xy23P

对于 f(x, y) = −x³y − 3x³ + 2y³ − 3xy，求在点 (2, 3) 处的偏导数 ∂f/∂y。

f(x, y) = −x³y − 3x³ + 2y³ − 3xyP = (2, 3)
fy(2, 3) =
2.简单

对于 f(x, y) = sin(2x − y)，求在 (−1, 1) 处的混合二阶偏导数 ∂²f/∂x∂y。

f(x, y) = sin(2x − y)P = (−1, 1)
fxy(−1, 1) =
3.中等
xy21P

z = −x³y² − 5x³ + 5y³ − 4xy 在 (x, y) = (2, 1) 处的切平面可以写成 z = px + qy + c。求 c。

f(x, y) = −x³y² − 5x³ + 5y³ − 4xy(a, b) = (2, 1)
c =
4.中等

z = −3xy² − 2x² + 5y³ + 4xy，其中 x = 2t，y = −t² + 2。用链式法则求 t = 0 时的 dz/dt。

z = −3xy² − 2x² + 5y³ + 4xyx = 2ty = −t² + 2t = 0
dz/dt =
5.困难
xy−202−202(0, 0)(1, 1)(−1, −1)

求 f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy 的临界点，对它们分类，并给出 f 在其局部极小值处的值 fmin。

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy
fmin =
6.困难
xy1.50.5

用极坐标计算 I = ∬R e−(x² + y²) dA，其中 R 是圆环 0.25 ≤ x² + y² ≤ 2.25。

f = e−(x² + y²)0.5 ≤ r ≤ 1.50 ≤ θ ≤ 2π
I =

答案

  1. 1. fy(2, 3) = 40
  2. 2. fxy(−1, 1) = −0.2822
  3. 3. c = 110
  4. 4. dz/dt = −8
  5. 5. fmin = −2
  6. 6. I = 2.116

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