多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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姓名: ____________________   日期: ____________

1.简单
xy1−1P

对于 f(x, y) = −3x²y² − 2x²，求在点 (1, −1) 处的偏导数 ∂f/∂x。

f(x, y) = −3x²y² − 2x²P = (1, −1)
fx(1, −1) =
2.简单
xy3−2P

对于 f(x, y) = 4xy³ + 4x³ + 4y³ + 4xy，求在点 (3, −2) 处的偏导数 ∂f/∂y。

f(x, y) = 4xy³ + 4x³ + 4y³ + 4xyP = (3, −2)
fy(3, −2) =
3.中等
xy−1−1∇fP

对于 f(x, y) = 2x²y² − 3x² − 5y² − xy，求 f 在点 (−1, −1) 处的最大变化率，即 |∇f|。

f(x, y) = 2x²y² − 3x² − 5y² − xyP = (−1, −1)
|∇f| =
4.中等

z = −2xy² − 4x³ + 2y² + 2xy，其中 x = −2t − 1，y = −t²。用链式法则求 t = 1 时的 dz/dt。

z = −2xy² − 4x³ + 2y² + 2xyx = −2t − 1y = −t²t = 1
dz/dt =
5.困难
xy−202−1012(1, 1)(−1, 1)

求 f(x, y) = x³ − 3x + y² − 2y 的临界点，对它们分类，并给出 f 在其局部极小值处的值 fmin。

f(x, y) = x³ − 3x + y² − 2y
fmin =
6.困难
xyy = 0.8y = x0.80.8

积分 I = ∫00.8 ∫x0.8 sin(y²) dy dx 无法按这个顺序计算。请交换积分顺序并计算它。

f = sin(y²)0 ≤ x ≤ y ≤ 0.8
I =

答案

  1. 1. fx(1, −1) = −10
  2. 2. fy(3, −2) = 204
  3. 3. |∇f| = 7.616
  4. 4. dz/dt = 268
  5. 5. fmin = −3
  6. 6. I = 0.09895

完整分步解答：请在 examproblems.com 上练习本主题。