多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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1.简单

对于 f(x, y) = 2 ln(x² + 4y²)，求在 (0.5, 2) 处的混合二阶偏导数 ∂²f/∂x∂y。

f(x, y) = 2 ln(x² + 4y²)P = (0.5, 2)
fxy(0.5, 2) =
2.简单
xy10.5P

对于 f(x, y) = 3 ln(x² + y²)，求在点 (1, 0.5) 处的偏导数 ∂f/∂x。

f(x, y) = 3 ln(x² + y²)P = (1, 0.5)
fx(1, 0.5) =
3.中等

z = 3 ln(x² + 2y²)，其中 x = 3t + 1，y = −2t² + 2。用链式法则求 t = 0 时的 dz/dt。

z = 3 ln(x² + 2y²)x = 3t + 1y = −2t² + 2t = 0
dz/dt =
4.中等
xy20.5P

z = 3 sin(−3x − 3y) 在 (x, y) = (2, 0.5) 处的切平面可以写成 z = px + qy + c。求 c。

f(x, y) = 3 sin(−3x − 3y)(a, b) = (2, 0.5)
c =
5.困难
xy3

用极坐标计算 I = ∬R y dA，其中 R 是圆盘 x² + y² ≤ 9 的上半部分 (y ≥ 0)。

f = y0 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ π
I =
6.困难
xy−202−202ABC

图中标出的点是 f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy 的临界点。点选鞍点。

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy
  1. 1A (−1, −1)
  2. 2B (1, 1)
  3. 3C (0, 0)

答案

  1. 1. fxy(0.5, 2) = −0.1212
  2. 2. fx(1, 0.5) = 4.8
  3. 3. dz/dt = 2
  4. 4. c = 4.985
  5. 5. I = 18
  6. 6. C (0, 0)

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