多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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姓名: ____________________   日期: ____________

1.简单
xyx = 2y = 4y = 2242

在矩形 0 ≤ x ≤ 2，2 ≤ y ≤ 4 上计算 I = ∫02 ∫24 (4x²y − 4) dy dx。

f = 4x²y − 40 ≤ x ≤ 22 ≤ y ≤ 4
I =
2.简单

对于 f(x, y) = 2 ln(x² + 4y²)，求在 (1, 1) 处的混合二阶偏导数 ∂²f/∂x∂y。

f(x, y) = 2 ln(x² + 4y²)P = (1, 1)
fxy(1, 1) =
3.中等
xy−11P

利用 f(x, y) = ln(x² + y²) 在 (−1, 1) 处的切平面来近似 f(−1.1, 0.8)。给出线性近似值 L。

f(x, y) = ln(x² + y²)(a, b) = (−1, 1)(x, y) = (−1.1, 0.8)
L =
4.中等
xy21∇fP

对于 f(x, y) = ln(x² + y²)，求 f 在点 (2, 1) 处的最大变化率，即 |∇f|。

f(x, y) = ln(x² + y²)P = (2, 1)
|∇f| =
5.困难
xy2

用极坐标计算 I = ∬R √(x² + y²) dA，其中 R 是圆盘 x² + y² ≤ 4 在第一象限的四分之一。

f = √(x² + y²)0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ π/2
I =
6.困难
xyy = 1.5y = x1.51.5

积分 I = ∫01.5 ∫x1.5 cos(y²) dy dx 无法按这个顺序计算。请交换积分顺序并计算它。

f = cos(y²)0 ≤ x ≤ y ≤ 1.5
I =

答案

  1. 1. I = 48
  2. 2. fxy(1, 1) = −1.28
  3. 3. L = 0.5931
  4. 4. |∇f| = 0.8944
  5. 5. I = 4.189
  6. 6. I = 0.389

完整分步解答：请在 examproblems.com 上练习本主题。