多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

教师请注意： 可免费打印、复印并在课堂上使用。每份新练习题都有新的数值和独立的答案。欢迎在课程页面添加指向 ExamProblems 的链接。

姓名: ____________________   日期: ____________

1.简单

对于 f(x, y) = −3x²y² − 4x² − 3y² + 3xy，求在 (−1, −1) 处的混合二阶偏导数 ∂²f/∂x∂y。

f(x, y) = −3x²y² − 4x² − 3y² + 3xyP = (−1, −1)
fxy(−1, −1) =
2.简单
xyx = 2x = 3y = 5y = 22352

在矩形 2 ≤ x ≤ 3，2 ≤ y ≤ 5 上计算 I = ∫23 ∫25 (x·e−y) dy dx。

f = x·e−y2 ≤ x ≤ 32 ≤ y ≤ 5
I =
3.中等
xy2−2∇fP

对于 f(x, y) = 4x²y + 3x³ − 5y² − xy，求 f 在点 (2, −2) 处的最大变化率，即 |∇f|。

f(x, y) = 4x²y + 3x³ − 5y² − xyP = (2, −2)
|∇f| =
4.中等
xy0505vP

对于 f(x, y) = x³y² − x² + 2y² − xy，求在 (3, 3) 处沿 v = (2, −4) 方向的方向导数 Duf。

f(x, y) = x³y² − x² + 2y² − xyP = (3, 3)v = (2, −4)
Duf =
5.困难
xyy = 2y = x22

积分 I = ∫02 ∫x2 sin(y²) dy dx 无法按这个顺序计算。请交换积分顺序并计算它。

f = sin(y²)0 ≤ x ≤ y ≤ 2
I =
6.困难
xy−505−2024AB

图中标出的点是 f(x, y) = −x³ + 27x − y² + 4y 的临界点。点选鞍点。

f(x, y) = −x³ + 27x − y² + 4y
  1. 1A (−3, 2)
  2. 2B (3, 2)

答案

  1. 1. fxy(−1, −1) = −9
  2. 2. I = 0.3215
  3. 3. |∇f| = 34.53
  4. 4. Duf = −48.3
  5. 5. I = 0.8268
  6. 6. A (−3, 2)

完整分步解答：请在 examproblems.com 上练习本主题。