多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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姓名: ____________________   日期: ____________

1.简单
xy−32P

对于 f(x, y) = xy³ + 4x³ + 2y² + xy，求在点 (−3, 2) 处的偏导数 ∂f/∂y。

f(x, y) = xy³ + 4x³ + 2y² + xyP = (−3, 2)
fy(−3, 2) =
2.简单

对于 f(x, y) = x³y² − x² + y² − 2xy，求在 (1, −2) 处的二阶偏导数 ∂²f/∂y²。

f(x, y) = x³y² − x² + y² − 2xyP = (1, −2)
fyy(1, −2) =
3.中等
xy3−2∇fP

对于 f(x, y) = 2x²y² + 3x² − 5y³ + 3xy，求 f 在点 (3, −2) 处的最大变化率，即 |∇f|。

f(x, y) = 2x²y² + 3x² − 5y³ + 3xyP = (3, −2)
|∇f| =
4.中等

z = −x²y³ − 2x² + 2y² + xy，其中 x = 2t，y = −2t² + 1。用链式法则求 t = 0 时的 dz/dt。

z = −x²y³ − 2x² + 2y² + xyx = 2ty = −2t² + 1t = 0
dz/dt =
5.困难
xyy = 1.5y = x1.51.5

积分 I = ∫01.5 ∫x1.5 1/(1 + y²)² dy dx 无法按这个顺序计算。请交换积分顺序并计算它。

f = 1/(1 + y²)²0 ≤ x ≤ y ≤ 1.5
I =
6.困难
xy30.5

用极坐标计算 I = ∬R √(x² + y²) dA，其中 R 是圆环 0.25 ≤ x² + y² ≤ 9。

f = √(x² + y²)0.5 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ 2π
I =

答案

  1. 1. fy(−3, 2) = −31
  2. 2. fyy(1, −2) = 4
  3. 3. |∇f| = 136.9
  4. 4. dz/dt = 2
  5. 5. I = 0.3462
  6. 6. I = 56.29

完整分步解答：请在 examproblems.com 上练习本主题。