多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

教师请注意： 可免费打印、复印并在课堂上使用。每份新练习题都有新的数值和独立的答案。欢迎在课程页面添加指向 ExamProblems 的链接。

姓名: ____________________   日期: ____________

1.简单

对于 f(x, y) = xe0.5y，求在 (0.5, −1) 处的混合二阶偏导数 ∂²f/∂x∂y。

f(x, y) = xe0.5yP = (0.5, −1)
fxy(0.5, −1) =
2.简单
xy−12P

对于 f(x, y) = 3 ln(x² + 4y²)，求在点 (−1, 2) 处的偏导数 ∂f/∂y。

f(x, y) = 3 ln(x² + 4y²)P = (−1, 2)
fy(−1, 2) =
3.中等
xy−12∇fP

对于 f(x, y) = 2x²y + x³ + 4y²，求 f 在点 (−1, 2) 处的最大变化率，即 |∇f|。

f(x, y) = 2x²y + x³ + 4y²P = (−1, 2)
|∇f| =
4.中等
xy−2024024vP

对于 f(x, y) = xy² + 5x² + 3y³ + 2xy，求在 (1, 2) 处沿 v = (0, 1) 方向的方向导数 Duf。

f(x, y) = xy² + 5x² + 3y³ + 2xyP = (1, 2)v = (0, 1)
Duf =
5.困难
xy10.5

用极坐标计算 I = ∬R e−(x² + y²) dA，其中 R 是圆环 0.25 ≤ x² + y² ≤ 1。

f = e−(x² + y²)0.5 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ 2π
I =
6.困难
xy−20202(1, 2)(−1, 2)

f(x, y) = x³ − 3x + y² − 4y 在 (1, 2) 处有一个临界点。计算该点的判别式 D = fxxfyy − fxy²。

f(x, y) = x³ − 3x + y² − 4yP = (1, 2)
D =

答案

  1. 1. fxy(0.5, −1) = 0.3033
  2. 2. fy(−1, 2) = 2.824
  3. 3. |∇f| = 18.68
  4. 4. Duf = 42
  5. 5. I = 1.291
  6. 6. D = 12

完整分步解答：请在 examproblems.com 上练习本主题。