多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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1.简单
xyx = 1y = 2y = 1121

在矩形 0 ≤ x ≤ 1，1 ≤ y ≤ 2 上计算 I = ∫01 ∫12 (−y − 4) dy dx。

f = −y − 40 ≤ x ≤ 11 ≤ y ≤ 2
I =
2.简单

对于 f(x, y) = 2 ln(x² + 2y²)，求在 (2, 0.5) 处的混合二阶偏导数 ∂²f/∂x∂y。

f(x, y) = 2 ln(x² + 2y²)P = (2, 0.5)
fxy(2, 0.5) =
3.中等
xy050246PQ

对于 f(x, y) = 4x²y + x³ − 5y² + 4xy，求在 P(1, 3) 处朝向 Q(1, 6) 方向的方向导数 Duf。

f(x, y) = 4x²y + x³ − 5y² + 4xyP = (1, 3)Q = (1, 6)
Duf =
4.中等
xy31∇fP

对于 f(x, y) = −2x³y³ − 5x² − 4y³ − xy，求 f 在点 (3, 1) 处的最大变化率，即 |∇f|。

f(x, y) = −2x³y³ − 5x² − 4y³ − xyP = (3, 1)
|∇f| =
5.困难
xy−101−101(0, 0)

f(x, y) = −x² + 2xy − 2y² − 2 在 (0, 0) 处有一个临界点。计算该点的判别式 D = fxxfyy − fxy²。

f(x, y) = −x² + 2xy − 2y² − 2P = (0, 0)
D =
6.困难
xyx = 2y = x2

积分 I = ∫02 ∫y2 cos(x²) dx dy 无法按这个顺序计算。请交换积分顺序并计算它。

f = cos(x²)0 ≤ y ≤ x ≤ 2
I =

答案

  1. 1. I = −5.5
  2. 2. fxy(2, 0.5) = −0.7901
  3. 3. Duf = −22
  4. 4. |∇f| = 196.4
  5. 5. D = 4
  6. 6. I = −0.3784

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