多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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姓名: ____________________   日期: ____________

1.简单
xyx = 2x = 3y = 3y = 22332

在矩形 2 ≤ x ≤ 3，2 ≤ y ≤ 3 上计算 I = ∫23 ∫23 (−3x²y + 6) dy dx。

f = −3x²y + 62 ≤ x ≤ 32 ≤ y ≤ 3
I =
2.简单

对于 f(x, y) = 2 sin(2x + 2y)，求在 (2, 2) 处的混合二阶偏导数 ∂²f/∂x∂y。

f(x, y) = 2 sin(2x + 2y)P = (2, 2)
fxy(2, 2) =
3.中等
xy−1−1∇fP

对于 f(x, y) = sin(−3x + 2y)，求 f 在点 (−1, −1) 处的最大变化率，即 |∇f|。

f(x, y) = sin(−3x + 2y)P = (−1, −1)
|∇f| =
4.中等
xy050246vP

对于 f(x, y) = 3xy + 4x² + 5y²，求在 (3, 3) 处沿 v = (−3, −3) 方向的方向导数 Duf。

f(x, y) = 3xy + 4x² + 5y²P = (3, 3)v = (−3, −3)
Duf =
5.困难
xy−202−202(0, 0)(2, 2)(−2, −2)

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy 在 (2, 2) 处有一个临界点。计算该点的判别式 D = fxxfyy − fxy²。

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xyP = (2, 2)
D =
6.困难
xyy = 1.5y = x1.51.5

积分 I = ∫01.5 ∫x1.5 1/(1 + y²)² dy dx 无法按这个顺序计算。请交换积分顺序并计算它。

f = 1/(1 + y²)²0 ≤ x ≤ y ≤ 1.5
I =

答案

  1. 1. I = −41.5
  2. 2. fxy(2, 2) = −7.915
  3. 3. |∇f| = 1.948
  4. 4. Duf = −50.91
  5. 5. D = 2048
  6. 6. I = 0.3462

完整分步解答：请在 examproblems.com 上练习本主题。