多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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1.简单

对于 f(x, y) = ln(x² + 4y²)，求在 (−1, 2) 处的混合二阶偏导数 ∂²f/∂x∂y。

f(x, y) = ln(x² + 4y²)P = (−1, 2)
fxy(−1, 2) =
2.简单
xy0.5−1P

对于 f(x, y) = 3 ln(x² + 4y²)，求在点 (0.5, −1) 处的偏导数 ∂f/∂y。

f(x, y) = 3 ln(x² + 4y²)P = (0.5, −1)
fy(0.5, −1) =
3.中等
xy02−4−202vP

对于 f(x, y) = 2y·e−xy，求在 (1, 0.5) 处沿 v = (−2, −4) 方向的方向导数 Duf。

f(x, y) = 2y·e−xyP = (1, 0.5)v = (−2, −4)
Duf =
4.中等
xy−4−202024vP

对于 f(x, y) = 2y·exy，求在 (−1, 2) 处沿 v = (3, −2) 方向的方向导数 Duf。

f(x, y) = 2y·exyP = (−1, 2)v = (3, −2)
Duf =
5.困难
xy1.5

用极坐标计算 I = ∬R (x² + y²) dA，其中 R 是圆盘 x² + y² ≤ 2.25 的上半部分 (y ≥ 0)。

f = x² + y²0 ≤ r ≤ 1.50 ≤ θ ≤ π
I =
6.困难
xy−202−202(0, 0)(2, 2)(−2, −2)

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy 在 (0, 0) 处有一个临界点。计算该点的判别式 D = fxxfyy − fxy²。

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xyP = (0, 0)
D =

答案

  1. 1. fxy(−1, 2) = 0.1107
  2. 2. fy(0.5, −1) = −5.647
  3. 3. Duf = −0.4069
  4. 4. Duf = 1.051
  5. 5. I = 3.976
  6. 6. D = −256

完整分步解答：请在 examproblems.com 上练习本主题。