多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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姓名: ____________________   日期: ____________

1.简单
xyx = 2y = 4y = 2242

在矩形 0 ≤ x ≤ 2，2 ≤ y ≤ 4 上计算 I = ∫02 ∫24 (2x·ey) dy dx。

f = 2x·ey0 ≤ x ≤ 22 ≤ y ≤ 4
I =
2.简单

对于 f(x, y) = 2x²y − 5x² + 2y² − 4xy，求在 (1, 1) 处的二阶偏导数 ∂²f/∂x²。

f(x, y) = 2x²y − 5x² + 2y² − 4xyP = (1, 1)
fxx(1, 1) =
3.中等
xy12∇fP

对于 f(x, y) = −2xy − 4x³ − 5y³，求 f 在点 (1, 2) 处的最大变化率，即 |∇f|。

f(x, y) = −2xy − 4x³ − 5y³P = (1, 2)
|∇f| =
4.中等
xy−4−202−4−20vP

对于 f(x, y) = 4xy + 4x³ + 4y²，求在 (−1, −2) 处沿 v = (−1, −2) 方向的方向导数 Duf。

f(x, y) = 4xy + 4x³ + 4y²P = (−1, −2)v = (−1, −2)
Duf =
5.困难
xy2

用极坐标计算 I = ∬R y dA，其中 R 是圆盘 x² + y² ≤ 4 的上半部分 (y ≥ 0)。

f = y0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ π
I =
6.困难
xy−202−202(2, −1)(−2, −1)

f(x, y) = −x³ + 12x − y² − 2y 在 (−2, −1) 处有一个临界点。计算该点的判别式 D = fxxfyy − fxy²。

f(x, y) = −x³ + 12x − y² − 2yP = (−2, −1)
D =

答案

  1. 1. I = 188.8
  2. 2. fxx(1, 1) = −6
  3. 3. |∇f| = 64.03
  4. 4. Duf = 16.1
  5. 5. I = 5.333
  6. 6. D = −24

完整分步解答：请在 examproblems.com 上练习本主题。