最优化练习卷（附答案）

用一张 21 cm × 45 cm 的矩形纸板做无盖盒子：从四个角各剪去边长为 x 的相同正方形，再把四边折起。 求使容积最大的剪去边长 x。

用 96 m 长的围栏围成一个矩形围栏场，并用一道与长度为 x 的边平行的额外围栏分成两部分（共有三道长度为 x 的围栏和两道长度为 y 的围栏）。 求可围成的最大总面积 A。

一块 800 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €20；其他三边每米造价 €5。 求最低总造价 C。

一块 450 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €20；其他三边每米造价 €8。 求最低总造价 C。

一家剧院每场以每张 €10 售出 1200 张票。市场调查显示，票价每提高 €1，售出的票就少 50 张（每降低 €1，就多 50 张）。 求每场的最大收入 R。

一家小企业以固定的市场价格每件 €45 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 3400 + 30q + 0.01q² 欧元。 求使利润最大的产量 q。