最优化练习卷（附答案）

一位农民有 200 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求面积最大时平行于河的边的长度 y。

一位农民有 80 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求可围成的最大面积 A。

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 400 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求可能的最小表面积 A。

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 330 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求用料最少时罐的高度 h。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 140 − 2q 欧元/件，成本为 C(q) = 600 + 45q 欧元。 求使利润最大的每周产量 q。

一家小企业以固定的市场价格每件 €50 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 800 + 40q + 0.01q² 欧元。 求最大利润 P。