最优化练习卷（附答案）

用一张 15 cm × 24 cm 的矩形纸板做无盖盒子：从四个角各剪去边长为 x 的相同正方形，再把四边折起。 求使容积最大的剪去边长 x。

用 48 m 长的围栏围成一个矩形围栏场，并用一道与长度为 x 的边平行的额外围栏分成两部分（共有三道长度为 x 的围栏和两道长度为 y 的围栏）。 求可围成的最大总面积 A。

一块 450 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €15；其他三边每米造价 €8。 求最低总造价 C。

一个正方形底的无盖盒子须容纳 500 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。 求最小表面积 S。

一家小企业以固定的市场价格每件 €80 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 400 + 38q + 0.5q² 欧元。 求使利润最大的产量 q。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 60 − 2q 欧元/件，成本为 C(q) = 100 + 30q 欧元。 求使利润最大的每周产量 q。