最优化练习卷（附答案）

用 360 m 长的围栏围成一个矩形围栏场，并用一道与长度为 x 的边平行的额外围栏分成两部分（共有三道长度为 x 的围栏和两道长度为 y 的围栏）。 求使总面积最大的长度 x。

用 120 m 长的围栏围成一个矩形围栏场，并用一道与长度为 x 的边平行的额外围栏分成两部分（共有三道长度为 x 的围栏和两道长度为 y 的围栏）。 求可围成的最大总面积 A。

一块 450 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €20；其他三边每米造价 €10。 求最低总造价 C。

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 500 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求用料最少时的半径 r。

一家小企业以固定的市场价格每件 €55 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 200 + 8q + 0.5q² 欧元。 求最大利润 P。

一家小企业以固定的市场价格每件 €30 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 3000 + 8q + 0.02q² 欧元。 求最大利润 P。