最优化练习卷（附答案）

一位农民有 40 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求可围成的最大面积 A。

用一张 18 cm × 18 cm 的正方形纸板做无盖盒子：从四个角各剪去边长为 x 的相同正方形，再把四边折起。 求可能的最大容积 V。

一个正方形底的无盖盒子须容纳 62500 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。 求底边长 x。

一块 800 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €15；其他三边每米造价 €10。 求最低总造价 C。

一家剧院每场以每张 €20 售出 340 张票。市场调查显示，票价每提高 €1，售出的票就少 10 张（每降低 €1，就多 10 张）。 求每场的最大收入 R。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 170 − 0.25q 欧元/件，成本为 C(q) = 7800 + 45q 欧元。 求使利润最大的每周产量 q。