最优化练习卷（附答案）

一位农民有 40 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求可围成的最大面积 A。

一位农民有 80 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求面积最大时平行于河的边的长度 y。

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 330 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求用料最少时罐的高度 h。

一块 200 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €30；其他三边每米造价 €12。 求最低总造价 C。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 180 − 0.25q 欧元/件，成本为 C(q) = 4800 + 25q 欧元。 求最大周利润 P。

一家小企业以固定的市场价格每件 €80 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 200 + 54q + 0.5q² 欧元。 求使利润最大的产量 q。