最优化练习卷（附答案）

一位农民有 200 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求面积最大时平行于河的边的长度 y。

一位农民有 400 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求面积最大时垂直于河的每条边的长度 x。

一块 300 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €20；其他三边每米造价 €12。 求最低总造价 C。

一块 1200 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €30；其他三边每米造价 €8。 求使造价最低的临街边长度 x。

一家剧院每场以每张 €20 售出 1360 张票。市场调查显示，票价每提高 €1，售出的票就少 40 张（每降低 €1，就多 40 张）。 求每场的最大收入 R。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 160 − 1q 欧元/件，成本为 C(q) = 500 + 90q 欧元。 求使利润最大的价格 p。