最优化练习卷（附答案）

用一张 18 cm × 18 cm 的正方形纸板做无盖盒子：从四个角各剪去边长为 x 的相同正方形，再把四边折起。 求使容积最大的剪去边长 x。

一位农民有 120 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求可围成的最大面积 A。

一块 1200 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €40；其他三边每米造价 €12。 求使造价最低的临街边长度 x。

一个正方形底的无盖盒子须容纳 4000 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。 求底边长 x。

一家小企业以固定的市场价格每件 €80 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 400 + 42q + 0.2q² 欧元。 求最大利润 P。

一家小企业以固定的市场价格每件 €65 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 100 + 54q + 0.2q² 欧元。 求最大利润 P。