最优化练习卷（附答案）

一位农民有 400 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求可围成的最大面积 A。

用一张 10 cm × 16 cm 的矩形纸板做无盖盒子：从四个角各剪去边长为 x 的相同正方形，再把四边折起。 求使容积最大的剪去边长 x。

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 1000 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求用料最少时的半径 r。

一块 600 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €40；其他三边每米造价 €5。 求最低总造价 C。

一家小企业以固定的市场价格每件 €55 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 2800 + 12q + 0.1q² 欧元。 求最大利润 P。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 170 − 0.25q 欧元/件，成本为 C(q) = 500 + 120q 欧元。 求使利润最大的价格 p。