最优化练习卷（附答案）

一位农民有 200 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求可围成的最大面积 A。

用 72 m 长的围栏围成一个矩形围栏场，并用一道与长度为 x 的边平行的额外围栏分成两部分（共有三道长度为 x 的围栏和两道长度为 y 的围栏）。 求使总面积最大的长度 x。

一块 600 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €25；其他三边每米造价 €12。 求最低总造价 C。

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 750 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求用料最少时的半径 r。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 60 − 0.2q 欧元/件，成本为 C(q) = 300 + 25q 欧元。 求最大周利润 P。

一家剧院每场以每张 €20 售出 290 张票。市场调查显示，票价每提高 €1，售出的票就少 10 张（每降低 €1，就多 10 张）。 求使收入最大的票价 p。