最优化练习卷（附答案）

用一张 48 cm × 48 cm 的正方形纸板做无盖盒子：从四个角各剪去边长为 x 的相同正方形，再把四边折起。 求使容积最大的剪去边长 x。

用一张 24 cm × 24 cm 的正方形纸板做无盖盒子：从四个角各剪去边长为 x 的相同正方形，再把四边折起。 求可能的最大容积 V。

一个正方形底的无盖盒子须容纳 13500 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。 求底边长 x。

一块 300 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €30；其他三边每米造价 €12。 求最低总造价 C。

一家剧院每场以每张 €10 售出 750 张票。市场调查显示，票价每提高 €1，售出的票就少 25 张（每降低 €1，就多 25 张）。 求每场的最大收入 R。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 140 − 0.1q 欧元/件，成本为 C(q) = 13500 + 45q 欧元。 求使利润最大的价格 p。