最优化练习卷（附答案）

用 144 m 长的围栏围成一个矩形围栏场，并用一道与长度为 x 的边平行的额外围栏分成两部分（共有三道长度为 x 的围栏和两道长度为 y 的围栏）。 求使总面积最大的长度 x。

用一张 30 cm × 30 cm 的正方形纸板做无盖盒子：从四个角各剪去边长为 x 的相同正方形，再把四边折起。 求使容积最大的剪去边长 x。

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 355 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求可能的最小表面积 A。

一个正方形底的无盖盒子须容纳 500 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。 求底边长 x。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 70 − 0.5q 欧元/件，成本为 C(q) = 200 + 35q 欧元。 求最大周利润 P。

一家剧院每场以每张 €15 售出 960 张票。市场调查显示，票价每提高 €1，售出的票就少 40 张（每降低 €1，就多 40 张）。 求使收入最大的票价 p。