最优化练习卷（附答案）

一位农民有 80 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求面积最大时垂直于河的每条边的长度 x。

用一张 15 cm × 24 cm 的矩形纸板做无盖盒子：从四个角各剪去边长为 x 的相同正方形，再把四边折起。 求使容积最大的剪去边长 x。

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 1000 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求用料最少时罐的高度 h。

一个正方形底的无盖盒子须容纳 4000 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。 求底边长 x。

一家小企业以固定的市场价格每件 €20 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 500 + 6q + 0.02q² 欧元。 求使利润最大的产量 q。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 80 − 2q 欧元/件，成本为 C(q) = 300 + 10q 欧元。 求最大周利润 P。