最优化练习卷（附答案）

一位农民有 400 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求可围成的最大面积 A。

用 72 m 长的围栏围成一个矩形围栏场，并用一道与长度为 x 的边平行的额外围栏分成两部分（共有三道长度为 x 的围栏和两道长度为 y 的围栏）。 求使总面积最大的长度 x。

一个正方形底的无盖盒子须容纳 13500 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。 求最小表面积 S。

一个正方形底的无盖盒子须容纳 4000 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。 求底边长 x。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 100 − 2q 欧元/件，成本为 C(q) = 100 + 45q 欧元。 求最大周利润 P。

一家小企业以固定的市场价格每件 €75 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 2600 + 24q + 0.1q² 欧元。 求最大利润 P。