最优化练习卷（附答案）

用一张 18 cm × 18 cm 的正方形纸板做无盖盒子：从四个角各剪去边长为 x 的相同正方形，再把四边折起。 求可能的最大容积 V。

用一张 21 cm × 45 cm 的矩形纸板做无盖盒子：从四个角各剪去边长为 x 的相同正方形，再把四边折起。 求使容积最大的剪去边长 x。

一块 400 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €40；其他三边每米造价 €10。 求使造价最低的临街边长度 x。

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 330 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求用料最少时罐的高度 h。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 110 − 0.1q 欧元/件，成本为 C(q) = 9600 + 30q 欧元。 求使利润最大的每周产量 q。

一家小企业以固定的市场价格每件 €65 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 300 + 48q + 0.1q² 欧元。 求最大利润 P。