最优化练习卷（附答案）

一位农民有 120 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求面积最大时垂直于河的每条边的长度 x。

用 48 m 长的围栏围成一个矩形围栏场，并用一道与长度为 x 的边平行的额外围栏分成两部分（共有三道长度为 x 的围栏和两道长度为 y 的围栏）。 求可围成的最大总面积 A。

一个正方形底的无盖盒子须容纳 32000 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。 求底边长 x。

一块 450 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €25；其他三边每米造价 €10。 求使造价最低的临街边长度 x。

一家小企业以固定的市场价格每件 €80 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 100 + 70q + 0.2q² 欧元。 求最大利润 P。

一家小企业以固定的市场价格每件 €65 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 13000 + 14q + 0.01q² 欧元。 求最大利润 P。