最优化练习卷（附答案）

用一张 12 cm × 12 cm 的正方形纸板做无盖盒子：从四个角各剪去边长为 x 的相同正方形，再把四边折起。 求使容积最大的剪去边长 x。

一位农民有 80 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求面积最大时垂直于河的每条边的长度 x。

一块 200 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €20；其他三边每米造价 €10。 求最低总造价 C。

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 355 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求可能的最小表面积 A。

一家剧院每场以每张 €20 售出 1250 张票。市场调查显示，票价每提高 €1，售出的票就少 25 张（每降低 €1，就多 25 张）。 求使收入最大的票价 p。

一家小企业以固定的市场价格每件 €40 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 200 + 30q + 0.05q² 欧元。 求最大利润 P。