最优化练习卷（附答案）

用 120 m 长的围栏围成一个矩形围栏场，并用一道与长度为 x 的边平行的额外围栏分成两部分（共有三道长度为 x 的围栏和两道长度为 y 的围栏）。 求可围成的最大总面积 A。

用一张 60 cm × 60 cm 的正方形纸板做无盖盒子：从四个角各剪去边长为 x 的相同正方形，再把四边折起。 求使容积最大的剪去边长 x。

一个正方形底的无盖盒子须容纳 32000 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。 求最小表面积 S。

一块 600 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €30；其他三边每米造价 €10。 求使造价最低的临街边长度 x。

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 110 − 0.2q 欧元/件，成本为 C(q) = 3200 + 30q 欧元。 求使利润最大的每周产量 q。

一家剧院每场以每张 €10 售出 480 张票。市场调查显示，票价每提高 €1，售出的票就少 20 张（每降低 €1，就多 20 张）。 求使收入最大的票价 p。