最优化练习卷（附答案）

一位农民有 160 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求面积最大时垂直于河的每条边的长度 x。

一位农民有 200 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求可围成的最大面积 A。

一个正方形底的无盖盒子须容纳 62500 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。 求高度 h。

一块 600 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €40；其他三边每米造价 €5。 求最低总造价 C。

一家小企业以固定的市场价格每件 €70 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 2600 + 4q + 0.25q² 欧元。 求使利润最大的产量 q。

一家剧院每场以每张 €12 售出 720 张票。市场调查显示，票价每提高 €1，售出的票就少 20 张（每降低 €1，就多 20 张）。 求每场的最大收入 R。