Dimensionnement des réacteurs (RPAC et RP) : exercices corrigés pas à pas

Exercices gratuits sur Dimensionnement des réacteurs (RPAC et RP) avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : RPAC, premier ordre, RP, premier ordre, conversion à partir du volume.

Exercice gratuitFacile
V = ?, k = 0,08 min⁻¹Q = 80 L/minX = 50%

Une réaction du premier ordre en phase liquide A → B de k = 0,08 min⁻¹ est réalisée dans un réacteur parfaitement agité continu (RPAC) alimenté à 80 L/min. La masse volumique est constante et le réacteur est en régime permanent. Trouvez le volume du réacteur V en litres pour une conversion de A de 50 %.

Q = 80 L/mink = 0,08 min⁻¹X = 50%
L
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Ce que vous travaillez

  1. FacileRPAC, premier ordre
  2. MoyenRP, premier ordre
  3. Difficileconversion à partir du volume

Formules clés

Temps de passage
τ = V/Q
RPAC, premier ordre
τ = X/(k·(1 − X)), CA = CA0/(1 + kτ)
RP, premier ordre
τ = ln(1/(1 − X))/k, CA = CA0·e−kτ
Conversion à partir du volume
CSTR: X = kτ/(1 + kτ), PFR: X = 1 − e−kτ
N RPAC identiques en série
X = 1 − 1/(1 + kτi)N

Apprendre Dimensionnement des réacteurs (RPAC et RP) depuis zéro

Avant cela : Cinétique chimique

1Ce qu’est le dimensionnement d’un réacteur

Dans l’industrie, les réactions se déroulent généralement dans des réacteurs continus : l’alimentation entre en permanence et le produit sort en permanence. La question est de savoir quelle taille doit avoir le réacteur pour convertir assez de la charge.

Deux réacteurs idéaux couvrent la plupart des questions d’examen :

  • Le CSTR (réacteur continu parfaitement agité) : une cuve avec un agitateur. Il est parfaitement mélangé, donc toute la cuve a la même concentration que la sortie.
  • Le PFR (réacteur piston) : un long tube. Chaque tranche de fluide avance sans se mélanger avec les tranches qui la précèdent et la suivent, comme une rangée de petits réacteurs discontinus.
QCA0CAV
QCA0CAV

Ici, la réaction est d’ordre un, −rA = k·CA, la masse volumique reste constante et le réacteur fonctionne en régime permanent.

2Temps de passage et conversion

Le temps de passage τ est le volume du réacteur divisé par le débit volumique d’alimentation. C’est le temps moyen que le fluide passe à l’intérieur :

τ = V / Q

Un réacteur de 200 L alimenté à 25 L/min a τ = 200/25 = 8 min.

Le taux de conversion X est la fraction de A qui a réagi : CA = CA0·(1 − X). Une conversion de 75 % signifie qu’il reste un quart de A.

Pour une réaction d’ordre un, tout dépend d’un seul nombre, le produit k·τ. Un réacteur plus grand, une alimentation plus lente ou une réaction plus rapide augmentent tous kτ et donc la conversion.

Auto-évaluation Un réacteur de 200 L est alimenté à 25 L/min. Quel est le temps de passage τ ?
  1. 0,125 min
  2. 225 min
  3. 5000 min
  4. 8 min

Réponse: 8 min. τ = V/Q = 200 L / 25 L/min = 8 min. Multiplier (5000) ou inverser le rapport (0,125) donne les mauvaises unités : le résultat doit être un temps.

3Les équations de dimensionnement

Un CSTR réagit partout à la faible concentration de sortie. Un bilan molaire sur A donne :

CSTR: τ = X / (k·(1 − X)), CA = CA0 / (1 + kτ), X = kτ / (1 + kτ)

Dans un PFR, chaque tranche se comporte comme un réacteur discontinu, donc la décroissance d’ordre un de la cinétique s’applique avec t = τ :

PFR: τ = ln(1/(1 − X)) / k, CA = CA0·e−kτ, X = 1 − e−kτ

Le volume est alors V = Q·τ.

Pour la même conversion, un CSTR demande toujours plus de volume qu’un PFR, car il réagit à la concentration la plus basse. L’écart croît rapidement aux fortes conversions.

Plusieurs CSTR identiques en série se rapprochent de plus en plus d’un PFR. Chaque cuve divise la concentration par (1 + kτi), donc après N cuves X = 1 − 1/(1 + kτi)N.

Auto-évaluation Pour la même alimentation, la même constante de vitesse et la même conversion, quel réacteur idéal demande le plus grand volume ?
  1. Cela dépend de la concentration d’alimentation
  2. Le CSTR
  3. Le PFR
  4. Les deux demandent le même volume

Réponse: Le CSTR. Un CSTR fonctionne entièrement à la faible concentration de sortie, donc la vitesse est faible partout. Dans un PFR, la plupart du fluide voit des concentrations plus élevées et réagit plus vite.

4La méthode pas à pas

  1. Décidez de quel réacteur il s’agit : cuve agitée (CSTR) ou tube (PFR). Pour des cuves en série, traitez une cuve à la fois.
  2. Écrivez la conversion sous forme décimale : 85 % donne X = 0,85.
  3. Trouvez τ : à partir de V/Q si le volume est donné, ou à partir de l’équation de dimensionnement si la conversion est donnée.
  4. Utilisez l’équation de dimensionnement adaptée à l’inconnue : τ, V = Q·τ, CA ou X.
  5. Vérifiez : le CSTR demande plus de volume (ou donne moins de conversion) qu’un PFR de même taille.

5Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

Exemple détaillé

Une réaction en phase liquide d’ordre un A → B avec k = 0,15 min⁻¹ se déroule dans un CSTR alimenté à 25 L/min. La masse volumique est constante et le réacteur est en régime permanent. Trouvez le volume du réacteur V pour une conversion de 75 % de A.

1

Dessinez le réacteur

Q = 25 L/minCA0X = 0,75V = ?

C’est un CSTR, donc toute la cuve fonctionne à la concentration de sortie CA0·(1 − X).

2

Temps de passage

τ = X / (k·(1 − X)) = 0,75 / (0,15 · 0,25) = 20 min
3

Volume

V = Q · τ = 25 · 20 = 500 L
4

Vérifiez la réponse

Remettez dans l’équation : kτ = 0,15 · 20 = 3, donc X = 3/(1 + 3) = 0,75. Correct.

Un PFR demanderait τ = ln 4/0,15 = 9,24 min, donc V = 231 L. Le CSTR est environ 2,2 fois plus grand, comme prévu.

Réponse

V = 500 L (temps de passage 20 min).

6Erreurs fréquentes

  • Utiliser l’équation du PFR pour un CSTR, ou l’inverse.
  • Utiliser le volume V dans les équations au lieu du temps de passage τ = V/Q.
  • Oublier le (1 − X) dans l’équation du CSTR.
  • Utiliser log₁₀ dans l’équation du PFR. C’est le logarithme népérien ln.
  • Donner τ en minutes alors que le volume en litres est demandé : multipliez par Q.
  • Pour des cuves en série, les traiter comme une seule cuve de volume total.
Auto-évaluation Un CSTR de 250 L est alimenté à 25 L/min, avec k = 0,15 min⁻¹ (ordre un). Quelle conversion atteint-il ?
  1. 150%
  2. 60%
  3. 77,7%
  4. 97,4%

Réponse: 60%. τ = 10 min, donc kτ = 1,5 et X = 1,5/2,5 = 60 %. 77,7 % est le résultat du PFR 1 − e⁻¹·⁵, et 97,4 % vient de l’emploi de V = 250 au lieu de τ.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

  • Facile : un CSTR avec une cinétique d’ordre un. Trouvez τ, le volume ou la concentration de sortie.
  • Moyen : la même chose pour un PFR, ou le rapport VCSTR/VPFR pour une conversion donnée.
  • Difficile : la conversion à partir d’un volume donné : un CSTR, un PFR, ou deux CSTR identiques en série.

Exemple en série : deux CSTR de 400 L alimentés à 10 L/min, k = 0,05 min⁻¹. Chaque cuve a kτ = 0,05 · 40 = 2, donc C/CA0 = 1/3² = 1/9 et X = 88,9 %. Une seule cuve de 800 L ne donnerait que 80 %.

Apprenez pas à pas dans l’applicationApprenez pas à pas dans l’application

Exemples corrigés

Exemple 1Facile
V = 800 L, k = 0,4 min⁻¹Q = 20 L/minCA0​ = 2,5 mol/LCA​ = ?

Une réaction du premier ordre en phase liquide A → B (k = 0,4 min⁻¹) a lieu dans un réacteur parfaitement agité continu (RPAC) de 800 L. L’alimentation entre à 20 L/min avec CA0 = 2,5 mol/L. La masse volumique est constante et le réacteur est en régime permanent. Trouvez la concentration de sortie CA.

V = 800 LQ = 20 L/mink = 0,4 min⁻¹CA0 = 2,5 mol/L

Calculer CA (mol/L)

Afficher les indices
  1. Temps de passage : τ = V/Q = 40 min.
  2. RPAC, premier ordre : CA = CA0/(1 + kτ).
  3. kτ = 16.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Réacteurs idéaux, réaction du premier ordre (−rA = k·CA) en régime permanent, avec le temps de passage τ = V/Q. Un RPAC est parfaitement agité : tout le volume réagit donc à la faible concentration de sortie : τ = X/(k·(1 − X)) et CA = CA0/(1 + k·τ). Dans un réacteur piston (RP), chaque tranche de fluide réagit comme un petit réacteur fermé : τ = ln(1/(1 − X))/k et CA = CA0·e−k·τ. Pour une même conversion, un RPAC demande toujours un volume plus grand qu’un RP.

Temps de passage

τ = V/Q = 800/20 = 40 min

Concentration de sortie

CA = 2,5/(1 + 0,4·40) = 0,1471 mol/L

Réponse

CA = 0,1471 mol/L

Conversion : X = 94,12%.

Exemple 2Moyen
Q = 20 L/minCA0​ = 2,5 mol/LCA​ = ?V = 200 L, k = 0,25 min⁻¹

Une réaction du premier ordre en phase liquide A → B (k = 0,25 min⁻¹) a lieu dans un réacteur piston (RP) de 200 L. L’alimentation entre à 20 L/min avec CA0 = 2,5 mol/L. La masse volumique est constante et le réacteur est en régime permanent. Trouvez la concentration de sortie CA.

V = 200 LQ = 20 L/mink = 0,25 min⁻¹CA0 = 2,5 mol/L

Calculer CA (mol/L)

Afficher les indices
  1. Temps de passage : τ = V/Q = 10 min.
  2. RP, premier ordre : CA = CA0·e^(−kτ).
  3. kτ = 2,5.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Réacteurs idéaux, réaction du premier ordre (−rA = k·CA) en régime permanent, avec le temps de passage τ = V/Q. Un RPAC est parfaitement agité : tout le volume réagit donc à la faible concentration de sortie : τ = X/(k·(1 − X)) et CA = CA0/(1 + k·τ). Dans un réacteur piston (RP), chaque tranche de fluide réagit comme un petit réacteur fermé : τ = ln(1/(1 − X))/k et CA = CA0·e−k·τ. Pour une même conversion, un RPAC demande toujours un volume plus grand qu’un RP.

Temps de passage

τ = V/Q = 200/20 = 10 min

Concentration de sortie

CA = 2,5·e−0,25·10 = 0,2052 mol/L

Réponse

CA = 0,2052 mol/L

Conversion : X = 91,79%.

Exemple 3Difficile
Q = 25 L/minX = ?V = 50 L

Une réaction du premier ordre en phase liquide (k = 0,5 min⁻¹) a lieu dans un réacteur piston (RP) de 50 L alimenté à 25 L/min. La masse volumique est constante et le réacteur est en régime permanent. Trouvez la conversion X en pourcentage.

V = 50 LQ = 25 L/mink = 0,5 min⁻¹

Calculer X (%)

Afficher les indices
  1. Temps de passage par réacteur : τ = V/Q = 2 min, donc kτ = 1.
  2. RP : X = 1 − e^(−kτ).
  3. Donnez X en pourcentage.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Réacteurs idéaux, réaction du premier ordre (−rA = k·CA) en régime permanent, avec le temps de passage τ = V/Q. Un RPAC est parfaitement agité : tout le volume réagit donc à la faible concentration de sortie : τ = X/(k·(1 − X)) et CA = CA0/(1 + k·τ). Dans un réacteur piston (RP), chaque tranche de fluide réagit comme un petit réacteur fermé : τ = ln(1/(1 − X))/k et CA = CA0·e−k·τ. Pour une même conversion, un RPAC demande toujours un volume plus grand qu’un RP.

Temps de passage

τ = V/Q = 50/25 = 2 min, kτ = 0,5·2 = 1

Conversion

X = 1 − e−kτ = 1 − e−1 = 63,21%

Réponse

X = 63,21%

Questions et réponses

Dimensionnement des réacteurs (RPAC et RP) : de quoi s’agit-il ?

Dans l’industrie, les réactions se déroulent généralement dans des réacteurs continus : l’alimentation entre en permanence et le produit sort en permanence. La question est de savoir quelle taille doit avoir le réacteur pour convertir assez de la charge.

Deux réacteurs idéaux couvrent la plupart des questions d’examen :

Dimensionnement des réacteurs (RPAC et RP) : comment résoudre les exercices étape par étape ?

Réacteurs idéaux, réaction du premier ordre (−rA = k·CA) en régime permanent, avec le temps de passage τ = V/Q. Un RPAC est parfaitement agité : tout le volume réagit donc à la faible concentration de sortie : τ = X/(k·(1 − X)) et CA = CA0/(1 + k·τ). Dans un réacteur piston (RP), chaque tranche de fluide réagit comme un petit réacteur fermé : τ = ln(1/(1 − X))/k et CA = CA0·e−k·τ. Pour une même conversion, un RPAC demande toujours un volume plus grand qu’un RP.

Dimensionnement des réacteurs (RPAC et RP) : quelles sont les erreurs fréquentes ?
  • CA0·e−kτ est le résultat pour un RP (ou un réacteur fermé). Un RPAC réagit à la concentration de sortie : CA = CA0/(1 + kτ).
  • Utilisez le temps de passage τ = V/Q, pas le volume, dans l’expression de la vitesse.
  • CA0/(1 + kτ) est le résultat pour un RPAC. Dans un RP, la concentration décroît exponentiellement : CA = CA0·e−kτ.
Dimensionnement des réacteurs (RPAC et RP) : que couvrent les exercices ?
  • Facile: RPAC, premier ordre
  • Moyen: RP, premier ordre
  • Difficile: conversion à partir du volume

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

Comment fonctionne l’entraînement

  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.

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