Bilan matière : exercices corrigés pas à pas

1Ce qu’est un bilan matière

La masse ne peut ni apparaître ni disparaître. Tout ce qui entre dans une unité de procédé (un mélangeur, un réservoir, un évaporateur) doit en ressortir, ou y rester.

Beaucoup d’unités fonctionnent en régime permanent : les débits ne changent pas avec le temps et rien ne s’accumule à l’intérieur. La règle est alors simple :

Pensez à une baignoire avec le robinet ouvert et la bonde enlevée. Si le niveau d’eau reste le même, l’eau qui sort chaque minute est égale à l’eau qui entre.

Les débits s’écrivent sous forme de débits massiques ṁ, par exemple en kg/h. Lisez ṁ comme « m point » : le point signifie « par unité de temps ».

2Bilans global et par constituant

Un courant est souvent un mélange, par exemple du sel dissous dans l’eau. La fraction massique x est la part d’un constituant : 20 % de sel signifie 0,20 kg de sel dans chaque kg de solution.

La masse de ce constituant dans un courant est ṁ·x. Sans réaction chimique, chaque constituant obéit aussi à entrée = sortie. On peut donc écrire deux bilans :

Le premier est le bilan global, le second le bilan par constituant (ici pour le sel). Deux équations indépendantes permettent de trouver deux inconnues.

Exemple : 300 kg/h à 10 % de sel se mélangent à 200 kg/h à 20 % de sel. Sel à l’entrée : 30 + 40 = 70 kg/h. Total à la sortie : 500 kg/h. Donc x₃ = 70/500 = 14 %.

3L’évaporateur : un constituant de liaison

Un évaporateur fait bouillir l’eau d’une solution pour la concentrer. La vapeur W est de l’eau pure, donc tout le soluté sort avec le produit P.

Le soluté passe sans changement, de F vers P seulement. Un tel constituant est un constituant de liaison : son bilan relie directement deux débits.

Sur la figure : P = 1000 · 0,10/0,40 = 250 kg/h, et W = 1000 − 250 = 750 kg/h d’eau s’évaporent.

4La méthode pas à pas

1. Dessinez un rectangle pour l’unité avec chaque courant sous forme de flèche. Notez à côté chaque débit et chaque fraction connus.
2. Repérez les inconnues. Comptez-les : il faut autant de bilans indépendants.
3. Écrivez le bilan global : somme des débits entrants = somme des débits sortants.
4. Écrivez le bilan par constituant pour le soluté : somme des ṁ·x entrants = somme des ṁ·x sortants. Utilisez les fractions en décimaux (20 % = 0,20) ou en pourcentage des deux côtés.
5. Résolvez. Commencez par un constituant de liaison s’il y en a un.
6. Vérifiez : remettez les valeurs dans les deux bilans.

5Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

6Erreurs fréquentes

• Faire la moyenne des fractions au lieu de les pondérer par les débits.
• N’écrire que le bilan global, puis deviner la deuxième inconnue.
• Mélanger pourcentages et décimaux dans la même équation.
• Dans l’évaporateur, donner le produit P alors que l’eau évaporée W est demandée, ou l’inverse.
• Inverser le rapport du constituant de liaison : P = F·x_F/x_P, donc P est plus petit que F.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

• Facile : deux courants sont mélangés. Trouvez le débit de sortie (bilan global) ou sa fraction (bilan par constituant).
• Moyen : mélange pour obtenir une fraction cible. Trouvez le débit du second courant avec les deux bilans, comme dans l’exemple.
• Difficile : un évaporateur. Utilisez le soluté comme constituant de liaison pour trouver P, puis W = F − P.

Un raccourci pour le mélange : ṁ₂ = ṁ₁·(x₁ − x₃)/(x₃ − x₂). Dans l’exemple : 400·(10 − 20)/(20 − 40) = 200 kg/h.