Échangeurs de chaleur (DTLM) : exercices corrigés pas à pas

Exercices gratuits sur Échangeurs de chaleur (DTLM) avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : DTLM, surface nécessaire, dimensionnement complet.

Exercice gratuitFacile
longueurT115 °C100 °C100 °C15 °CΔT₁ΔT₂contre-courant

Dans un échangeur à contre-courant, le fluide chaud se refroidit de 115 à 100 °C pendant que le fluide froid se réchauffe de 15 à 100 °C. Trouvez l’écart de température moyen logarithmique ΔTlm.

Th: 115 → 100 °CTc: 15 → 100 °C
K
Exercice suivant →
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Ce que vous travaillez

  1. FacileDTLM
  2. Moyensurface nécessaire
  3. Difficiledimensionnement complet

Formules clés

Puissance échangée
Q = U·A·ΔTlm
Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilan d’un fluide
Q = ṁcp(Tin − Tout)

Apprendre Échangeurs de chaleur (DTLM) depuis zéro

Avant cela : Bilan d’énergie

1Ce que fait un échangeur de chaleur

Un échangeur de chaleur transfère de la chaleur d’un fluide chaud à un fluide froid à travers une paroi métallique, par exemple un tube avec de l’huile chaude à l’intérieur et de l’eau de refroidissement à l’extérieur.

La quantité de chaleur qu’il peut transférer dépend de trois choses : la facilité avec laquelle la paroi laisse passer la chaleur, la surface de paroi disponible, et l’écart de température entre les fluides.

Q = U · A · ΔTlm
  • Q : la puissance thermique en W.
  • U : le coefficient global d’échange thermique en W/(m²·K). Un U plus grand signifie un meilleur échangeur.
  • A : la surface d’échange thermique en m².
  • ΔTlm : la différence de température moyenne logarithmique, la « moyenne » correcte de l’écart de température.

Les fluides peuvent circuler dans le même sens (écoulement à co-courant) ou en sens opposés (écoulement à contre-courant).

hc⇉hc⇄

Sur la figure, l’échangeur de gauche est à co-courant et celui de droite à contre-courant. Le contre-courant conserve un écart de température plus grand sur toute la longueur, donc il transfère plus de chaleur pour la même surface.

2Pourquoi une moyenne logarithmique

L’écart de température entre les fluides n’est pas le même partout. Le long de l’échangeur, le fluide chaud se refroidit et le fluide froid se réchauffe, donc l’écart change d’une extrémité à l’autre.

Tx120 °C50 °C60 °C20 °CΔT₁ΔT₂

Appelons ΔT1 et ΔT2 les écarts aux deux extrémités. L’écart ne varie pas linéairement, donc la moyenne simple n’est pas correcte. La bonne moyenne est la moyenne logarithmique :

ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2) / ln(ΔT1 / ΔT2)

Les températures qui se font face à chaque extrémité dépendent de la disposition :

  • Contre-courant : ΔT1 = Th,in − Tc,out et ΔT2 = Th,out − Tc,in.
  • Co-courant : ΔT1 = Th,in − Tc,in et ΔT2 = Th,out − Tc,out.

La moyenne logarithmique est toujours un peu inférieure à la moyenne arithmétique. Si ΔT1 = ΔT2, ΔTlm vaut simplement cette valeur.

Auto-évaluation À contre-courant : le fluide chaud passe de 100 à 60 °C, le fluide froid de 20 à 50 °C. Quels sont les écarts aux extrémités ?
  1. 40 K et 30 K
  2. 50 K et 10 K
  3. 50 K et 40 K
  4. 80 K et 10 K

Réponse: 50 K et 40 K. À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide (100 − 50 = 50 K) et la sortie chaude fait face à l’entrée froide (60 − 20 = 40 K). 80 K et 10 K correspondent à l’appariement du co-courant.

3La méthode pas à pas

  1. Notez les quatre températures et vérifiez si l’écoulement est à contre-courant ou à co-courant.
  2. Si une température de sortie manque, trouvez-la d’abord par un bilan énergétique : Q = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(Tc,out − Tc,in).
  3. Trouvez les écarts aux extrémités ΔT1 et ΔT2 avec le bon appariement.
  4. Calculez ΔTlm avec le logarithme népérien.
  5. Pour la surface : A = Q/(U·ΔTlm). Mettez Q en W (kW × 1000) quand U est en W/(m²·K).
Auto-évaluation Les écarts aux extrémités sont ΔT₁ = 40 K et ΔT₂ = 20 K. Que vaut ΔTlm ?
  1. 13,86 K
  2. 20 K
  3. 28,85 K
  4. 30 K

Réponse: 28,85 K. ΔTlm = (40 − 20)/ln(40/20) = 20/0,693 = 28,85 K. La moyenne arithmétique, 30 K, est proche mais trop élevée.

4Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

Exemple détaillé

Un échangeur à contre-courant transfère 100 kW. Le fluide chaud se refroidit de 120 à 60 °C et le fluide froid se réchauffe de 20 à 50 °C. Le coefficient global d’échange thermique est de 500 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A.

1

Schématisez les températures

Tx120 °C50 °C60 °C20 °CΔT₁ΔT₂

À contre-courant, l’entrée chaude (120 °C) fait donc face à la sortie froide (50 °C).

2

Écarts aux extrémités

ΔT1 = 120 − 50 = 70 K
ΔT2 = 60 − 20 = 40 K
3

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (70 − 40) / ln(70/40) = 30 / 0,5596 = 53,61 K
4

Surface

Q = 100 kW = 100 000 W.

A = Q / (U · ΔTlm) = 100 000 / (500 · 53,61) = 3,73 m²
5

Vérifiez la réponse

ΔTlm = 53,61 K se situe entre 40 et 70 K et juste en dessous de leur moyenne de 55 K, comme il se doit.

À co-courant, les écarts aux extrémités seraient de 100 K et 10 K, ce qui donnerait ΔTlm = 39,09 K et A = 5,12 m². Le contre-courant demande moins de surface.

Réponse

A ≈ 3,73 m² (ΔTlm = 53,61 K).

5Erreurs fréquentes

  • Apparier les températures comme pour un co-courant dans un échangeur à contre-courant, ou l’inverse.
  • Utiliser la moyenne arithmétique au lieu de la moyenne logarithmique.
  • Utiliser la variation de température d’un seul fluide (par exemple 120 − 60) comme ΔT1. ΔT est toujours chaud moins froid à la même extrémité.
  • Laisser Q en kW alors que U est en W/(m²·K). La surface obtenue est 1000 fois trop petite.
  • Utiliser log₁₀ au lieu de ln.
Auto-évaluation Q = 50 kW, U = 500 W/(m²·K) et ΔTlm = 25 K. Quelle surface faut-il ?
  1. 0,004 m²
  2. 0,25 m²
  3. 4 m²
  4. 4000 m²

Réponse: 4 m². A = 50 000/(500 · 25) = 4 m². Laisser Q en kW donne 0,004 m², soit 1000 fois trop petit. 0,25 m² vient du fait d’avoir inversé la fraction.

6À quoi ressemblent les questions d’examen

  • Facile : trouvez ΔTlm pour un échangeur à contre-courant à partir des quatre températures.
  • Moyen : trouvez la surface A pour une puissance et un U donnés, à contre-courant ou à co-courant, comme dans l’exemple.
  • Difficile : un dimensionnement complet. La température de sortie de l’eau n’est pas donnée : trouvez Q à partir du fluide chaud, la sortie de l’eau par le bilan énergétique, puis ΔTlm et A.

Certaines questions utilisent un condenseur : le côté chaud se condense à une température constante unique. Alors les deux écarts aux extrémités utilisent cette température, et le contre-courant ou le co-courant donnent le même ΔTlm.

Apprenez pas à pas dans l’applicationApprenez pas à pas dans l’application

Exemples corrigés

Exemple 1Facile
longueurT100 °C80 °C85 °C30 °CΔT₁ΔT₂contre-courant

Dans un échangeur à contre-courant, le fluide chaud se refroidit de 100 à 80 °C pendant que le fluide froid se réchauffe de 30 à 85 °C. Trouvez l’écart de température moyen logarithmique ΔTlm.

Th: 100 → 80 °CTc: 30 → 85 °C

Calculer ΔTlm (K)

Afficher les indices
  1. Trouvez l’écart de température entre les deux fluides à chaque extrémité de l’échangeur.
  2. À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
  3. ΔT₁ = 15 K, ΔT₂ = 50 K.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.

Écarts de température aux extrémités

À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 85 = 15 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 30 = 50 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (15 − 50)/ln(15/50) = 29,07 K

Réponse

ΔTlm = 29,07 K
Exemple 2Moyen
longueurT165 °C115 °C10 °C80 °CΔT₁ΔT₂co-courant

Un échangeur à co-courant transfère 60 kW. Le fluide chaud se refroidit de 165 à 115 °C et le fluide froid se réchauffe de 10 à 80 °C. Le coefficient global d’échange vaut 500 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.

Q̇ = 60 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 165 → 115 °CTc: 10 → 80 °C

Calculer A (m²)

Afficher les indices
  1. Utilisez Q̇ = U·A·ΔTlm et isolez A.
  2. À co-courant, les deux entrées sont du même côté, et les deux sorties de l’autre.
  3. ΔTlm = 80,64 K.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.

Écarts de température aux extrémités

À co-courant, les deux entrées sont du même côté, et les deux sorties de l’autre.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 165 − 10 = 155 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 115 − 80 = 35 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (155 − 35)/ln(155/35) = 80,64 K

Surface

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 60000/(500·80,64) = 1,488 m²

Réponse

A = 1,488 m²
Exemple 3Difficile
longueurT105 °C10 °C?ΔT₁ΔT₂vapeur en condensation

De la vapeur se condense à une température constante de 105 °C à l’extérieur des tubes d’un condenseur de surface d’échange 3 m² et U = 1500 W/(m²·K). L’eau de refroidissement (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) entre dans les tubes à 10 °C. Trouvez la température de sortie de l’eau Tc,out.

Ts = 105 °CA = 3 m²U = 1500 W/(m²·K)ṁ = 1 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °C

Calculer Tc,out (°C)

Afficher les indices
  1. La température de sortie est inconnue, donc la DTLM ne peut pas être calculée directement. Combinez Q̇ = ṁcp(Tc,out − Tc,in) avec Q̇ = U·A·ΔTlm.
  2. On obtient ln((Ts − Tc,in)/(Ts − Tc,out)) = U·A/(ṁ·cp).
  3. U·A/(ṁ·cp) = 1,077.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combiner le bilan d’énergie et l’équation de transfert

Avec ΔT₁ = Ts − Tc,in et ΔT₂ = Ts − Tc,out, la différence ΔT₁ − ΔT₂ est égale à l’élévation de température de l’eau, donc celle-ci se simplifie.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1500·3/(1·4180) = 1,077

Température de sortie

ΔT₂ = ΔT₁·e−1,077 = 95·0,3408 = 32,37 K
Tc,out = 105 − 32,37 = 72,63 °C

Réponse

Tc,out = 72,63 °C

Chaleur transférée : Q̇ = 261,8 kW.

Questions et réponses

Échangeurs de chaleur (DTLM) : de quoi s’agit-il ?

Un échangeur de chaleur transfère de la chaleur d’un fluide chaud à un fluide froid à travers une paroi métallique, par exemple un tube avec de l’huile chaude à l’intérieur et de l’eau de refroidissement à l’extérieur.

La quantité de chaleur qu’il peut transférer dépend de trois choses : la facilité avec laquelle la paroi laisse passer la chaleur, la surface de paroi disponible, et l’écart de température entre les fluides.

Échangeurs de chaleur (DTLM) : comment résoudre les exercices étape par étape ?

Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.

Échangeurs de chaleur (DTLM) : quelles sont les erreurs fréquentes ?
  • L’écart de température décroît exponentiellement : T<sub>s</sub> − T<sub>c,out</sub> = (T<sub>s</sub> − T<sub>c,in</sub>)·e−UA/(ṁc<sub>p</sub>).
Échangeurs de chaleur (DTLM) : que couvrent les exercices ?
  • Facile: DTLM
  • Moyen: surface nécessaire
  • Difficile: dimensionnement complet

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

Comment fonctionne l’entraînement

  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.

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