Bilans masy: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Darmowe zadania z tematu Bilans masy z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: mieszanie dwóch strumieni, mieszanie do zadanego składu, wyparka.

Darmowe zadanieŁatwy
MieszalnikStrumień 1450 kg/h · 25% sólStrumień 2700 kg/h · 15% sólStrumień 3ṁ₃ = ? kg/h

Dwa roztwory (sól) są mieszane w stanie ustalonym. Wyznacz natężenie przepływu na wylocie ṁ3.

ṁ1 = 450 kg/hx1 = 25 %ṁ2 = 700 kg/hx2 = 15 %
kg/h
Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: Bilans masyĆwicz teraz: Bilans masy5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. Łatwymieszanie dwóch strumieni
  2. Średnimieszanie do zadanego składu
  3. Trudnywyparka

Najważniejsze wzory

Stan ustalony
na wejściu = na wyjściu
Bilans całkowity
ṁ1 + ṁ2 = ṁ3
Bilans składnika
ṁ1x1 + ṁ2x2 = ṁ3x3
Wyparka
F·xF = P·xP, W = F − P

Naucz się tematu Bilans masy od zera

1Czym jest bilans masy

Masa nie może się pojawić ani zniknąć. Wszystko, co wpływa do aparatu procesowego (mieszalnika, zbiornika, wyparki), musi z niego wypłynąć albo w nim pozostać.

Wiele aparatów pracuje w stanie ustalonym: przepływy nie zmieniają się w czasie i nic się wewnątrz nie gromadzi. Wtedy zasada jest prosta:

wejście = wyjście

Wyobraź sobie wannę z otwartym kranem i wyjętym korkiem. Jeśli poziom wody pozostaje taki sam, ilość wody wypływającej co minutę jest równa ilości wpływającej.

Przepływy zapisuje się jako strumienie masy ṁ, na przykład w kg/h. Czytaj ṁ jako „m z kropką”: kropka oznacza „na jednostkę czasu”.

Samosprawdzenie Mieszalnik w stanie ustalonym otrzymuje 300 kg/h i 200 kg/h. Ile z niego wypływa?
  1. 100 kg/h
  2. 250 kg/h
  3. 500 kg/h
  4. 600 kg/h

Odpowiedź: 500 kg/h. W stanie ustalonym nic się nie gromadzi, więc wyjście = wejście = 300 + 200 = 500 kg/h. Wartość 250 kg/h to średnia, która tu nie ma sensu.

2Bilanse całkowity i składnikowe

Strumień jest często mieszaniną, na przykład sól rozpuszczona w wodzie. Ułamek masowy x to udział jednego składnika: 20% soli oznacza 0,20 kg soli w każdym kg roztworu.

Masa tego składnika w strumieniu to ṁ·x. Bez reakcji chemicznej każdy składnik również spełnia wejście = wyjście. Można więc zapisać dwa bilanse:

ṁ1 + ṁ2 = ṁ3
ṁ1·x1 + ṁ2·x2 = ṁ3·x3

Pierwszy to bilans całkowity, drugi bilans składnika (tu soli). Dwa niezależne równania pozwalają znaleźć dwie niewiadome.

Przykład: 300 kg/h roztworu o 10% soli miesza się z 200 kg/h roztworu o 20% soli. Sól na wejściu: 30 + 40 = 70 kg/h. Całkowite wyjście: 500 kg/h. Zatem x3 = 70/500 = 14%.

Samosprawdzenie Zmieszano 300 kg/h roztworu soli 10% z 200 kg/h roztworu soli 20%. Jaki jest ułamek soli w mieszaninie?
  1. 14%
  2. 15%
  3. 30%
  4. 7%

Odpowiedź: 14%. Sól na wejściu = 300·0,10 + 200·0,20 = 70 kg/h, a 70/500 = 14%. Zwykła średnia z ułamków, 15%, pomija to, że strumień 10% jest większy.

3Wyparka: składnik wiążący

Wyparka odparowuje wodę z roztworu, aby go zagęścić. Para W to czysta woda, więc cała substancja rozpuszczona wychodzi z produktem P.

F1000 kg/h · 10%P40%W0%

Substancja rozpuszczona przechodzi bez zmian, tylko z F do P. Taki składnik to składnik wiążący (tie component): jego bilans bezpośrednio łączy dwa strumienie.

F·xF = P·xP, W = F − P

Na rysunku: P = 1000 · 0,10/0,40 = 250 kg/h, a W = 1000 − 250 = 750 kg/h wody odparowuje.

Samosprawdzenie Wyparka przyjmuje 1000 kg/h roztworu cukru 10% i wytwarza produkt 40%. Ile wody zostaje odparowane?
  1. 250 kg/h
  2. 300 kg/h
  3. 4000 kg/h
  4. 750 kg/h

Odpowiedź: 750 kg/h. Bilans cukru: P = 1000·0,10/0,40 = 250 kg/h. Wtedy W = 1000 − 250 = 750 kg/h. Wartość 250 kg/h to produkt, a nie usunięta woda.

4Metoda krok po kroku

  1. Narysuj prostokąt dla aparatu i każdy strumień jako strzałkę. Przy każdej zapisz znany przepływ i ułamek.
  2. Zaznacz niewiadome. Policz je: potrzebujesz tylu niezależnych bilansów.
  3. Zapisz bilans całkowity: suma przepływów wchodzących = suma przepływów wychodzących.
  4. Zapisz bilans składnika dla substancji rozpuszczonej: suma ṁ·x na wejściu = suma ṁ·x na wyjściu. Używaj ułamków dziesiętnych (20% = 0,20) albo procentów po obu stronach.
  5. Rozwiąż. Jeśli jest składnik wiążący, zacznij od niego.
  6. Sprawdź: podstaw liczby z powrotem do obu bilansów.

5Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

Strumień 1 to 400 kg/h roztworu soli 10%. Ile strumienia 2 (sól 40%) trzeba dodawać co godzinę, aby uzyskany produkt zawierał 20% soli? Znajdź ṁ2.

1

Narysuj aparat

ṁ₁ = 400 kg/h10%ṁ₂ = ?40%ṁ₃20%

Są dwie niewiadome, ṁ2 i ṁ3, więc potrzebujemy dwóch bilansów.

2

Bilans całkowity

ṁ3 = 400 + ṁ2
3

Bilans soli

400 · 0,10 + ṁ2 · 0,40 = (400 + ṁ2) · 0,20
40 + 0,40·ṁ2 = 80 + 0,20·ṁ2
4

Rozwiąż

0,20·ṁ2 = 40 ⇒ ṁ2 = 200 kg/h

Wtedy ṁ3 = 400 + 200 = 600 kg/h.

5

Sprawdź wynik

Sól na wejściu: 40 + 200 · 0,40 = 120 kg/h. Sól na wyjściu: 600 · 0,20 = 120 kg/h. Oba bilanse się zgadzają.

Docelowe 20% leży między 10% a 40%, tak jak musi być w mieszaninie.

Odpowiedź

Dodaj ṁ2 = 200 kg/h roztworu 40%.

6Typowe błędy

  • Uśrednianie ułamków zamiast ważenia ich przepływami.
  • Zapisanie tylko bilansu całkowitego, a potem zgadywanie drugiej niewiadomej.
  • Mieszanie procentów i ułamków dziesiętnych w tym samym równaniu.
  • W wyparce podanie produktu P, gdy pytano o odparowaną wodę W, albo odwrotnie.
  • Odwrócenie stosunku dla składnika wiążącego: P = F·xF/xP, więc P jest mniejsze od F.
Samosprawdzenie Zmieszano 100 kg/h roztworu 10% z 300 kg/h roztworu 30%. Jaki jest ułamek na wyjściu?
  1. 20%
  2. 25%
  3. 33,3%
  4. 40%

Odpowiedź: 25%. Substancja na wyjściu = 100·0,10 + 300·0,30 = 100 kg/h, a 100/400 = 25%. Zwykła średnia z 10% i 30% to 20%, co pomija to, że strumień 30% jest trzy razy większy.

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

  • Łatwe: mieszanie dwóch strumieni. Znajdź przepływ na wyjściu (bilans całkowity) lub jego ułamek (bilans składnika).
  • Średnie: mieszanie do docelowego ułamka. Znajdź przepływ drugiego strumienia za pomocą obu bilansów, jak w przykładzie.
  • Trudne: wyparka. Użyj substancji rozpuszczonej jako składnika wiążącego, aby znaleźć P, a potem W = F − P.

Skrót przy mieszaniu: ṁ2 = ṁ1·(x1 − x3)/(x3 − x2). W przykładzie: 400·(10 − 20)/(20 − 40) = 200 kg/h.

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
MieszalnikStrumień 1300 kg/h · 30% sólStrumień 2250 kg/h · 40% sólStrumień 3x₃ = ? %

Dwa roztwory (sól) są mieszane w stanie ustalonym. Wyznacz udział masowy składnika (sól) na wylocie x3.

ṁ1 = 300 kg/hx1 = 30 %ṁ2 = 250 kg/hx2 = 40 %

Oblicz x3 (%)

Pokaż podpowiedzi
  1. W stanie ustalonym to, co wpływa, wypływa: zapisz bilans całkowity i bilans składnika rozpuszczonego.
  2. Całkowity: ṁ₁ + ṁ₂ = ṁ₃. Składnik: ṁ₁x₁ + ṁ₂x₂ = ṁ₃x₃.
  3. ṁ3 = 550 kg/h.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Bilans masy w stanie ustalonym: wlot = wylot, dla masy całkowitej i osobno dla każdego składnika (bez reakcji).

Bilans całkowity

ṁ3 = ṁ1 + ṁ2 = 300 + 250 = 550 kg/h

Bilans: Sól

ṁ1x1 + ṁ2x2 = ṁ3x3
x3 = (300·30 + 250·40)/550 = 34,55 %

Odpowiedź

x3 = 34,55 %
Przykład 2Średni
MieszalnikStrumień 1850 kg/h · 50% cukierStrumień 2ṁ₂ = ? · 15% cukierProdukt40% cukier

Ile strumienia 2 trzeba co godzinę dodać do strumienia 1, aby mieszanina zawierała 40% składnika (cukier)? Wyznacz ṁ2.

ṁ1 = 850 kg/hx1 = 50 %x2 = 15 %x3 = 40 %

Oblicz ṁ2 (kg/h)

Pokaż podpowiedzi
  1. Dwie niewiadome (ṁ₂ i ṁ₃) wymagają dwóch bilansów: całkowitego i składnika.
  2. Podstaw ṁ₃ = ṁ₁ + ṁ₂ do ṁ₁x₁ + ṁ₂x₂ = ṁ₃x₃.
  3. Po przekształceniu: ṁ₂ = ṁ₁(x₁ − x₃)/(x₃ − x₂).
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Bilans masy w stanie ustalonym: wlot = wylot dla całości i dla każdego składnika. Zadania z mieszaniem łączą oba.

Bilanse

Total: ṁ3 = ṁ1 + ṁ2
cukier: ṁ1x1 + ṁ2x2 = (ṁ1 + ṁ2)x3

Wyznacz ṁ2

ṁ2 = ṁ1(x1 − x3)/(x3 − x2) = 850·(50 − 40)/(40 − 15) = 340 kg/h

Odpowiedź

ṁ2 = 340 kg/h
Przykład 3Trudny
WyparkaSurówka F2000 kg/h · 10% NaOHProdukt P65% NaOHOpary W (czysta woda)W = ? kg/h

Wyparka zatęża roztwór (NaOH), odparowując czystą wodę. Wyznacz ilość odparowanej wody W w kg/h.

F = 2000 kg/hxF = 10 %xP = 65 %

Oblicz W (kg/h)

Pokaż podpowiedzi
  1. Opary nie zawierają substancji rozpuszczonej, więc cała substancja z surówki wychodzi z produktem.
  2. Bilans substancji rozpuszczonej: F·xF = P·xP. Potem bilans całkowity: F = W + P.
  3. P = 307,7 kg/h.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Składnik kluczowy: składnik, który przechodzi bez zmian w jednym strumieniu (tu substancja rozpuszczona), wiąże strumienie bezpośrednio. Resztę daje bilans całkowity.

Bilans substancji rozpuszczonej

F·xF = P·xP → P = 2000·10/65 = 307,7 kg/h

Bilans całkowity

W = F − P = 2000 − 307,7 = 1692 kg/h

Odpowiedź

W = 1692 kg/h

Pytania i odpowiedzi

Bilans masy: co to jest?

Masa nie może się pojawić ani zniknąć. Wszystko, co wpływa do aparatu procesowego (mieszalnika, zbiornika, wyparki), musi z niego wypłynąć albo w nim pozostać.

Wiele aparatów pracuje w stanie ustalonym: przepływy nie zmieniają się w czasie i nic się wewnątrz nie gromadzi. Wtedy zasada jest prosta:

Bilans masy: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?

Bilans masy w stanie ustalonym: wlot = wylot, dla masy całkowitej i osobno dla każdego składnika (bez reakcji).

Bilans masy: co ćwiczysz?
  • Łatwy: mieszanie dwóch strumieni
  • Średni: mieszanie do zadanego składu
  • Trudny: wyparka

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Potem przejdź do

Bilans energii

Przedmioty z tym tematem

Bilanse masy i energiiInżynieria reaktorów chemicznychPrzygotowanie do egzaminu FE Chemical

Więcej tematów: Inżynieria chemiczna

Bilans energiiRównanie stanu gazu doskonałegoKinetyka reakcjiProjektowanie reaktorów (CSTR i PFR)Wymienniki ciepła (LMTD)

Karta pracy do druku

Bilans masy: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: Bilans masyĆwicz teraz: Bilans masy5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.