Wymienniki ciepła (LMTD): zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Q: Wymienniki ciepła (LMTD): jak rozwiązywać zadania krok po kroku?

Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.

Q: Wymienniki ciepła (LMTD): co ćwiczysz?

Łatwy: LMTD Średni: wymagana powierzchnia Trudny: pełne projektowanie Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Darmowe zadania z tematu Wymienniki ciepła (LMTD) z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: LMTD, wymagana powierzchnia, pełne projektowanie.

Darmowe zadanieŁatwy

W przeciwprądowym wymienniku ciepła gorący płyn stygnie od 115 do 100 °C, a zimny nagrzewa się od 15 do 100 °C. Wyznacz średnią logarytmiczną różnicę temperatur ΔT_lm.

T_h: 115 → 100 °CT_c: 15 → 100 °C

Następne zadanie →

Ćwicz za darmo: Wymienniki ciepła (LMTD)Ćwicz teraz: Wymienniki ciepła (LMTD)5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

ŁatwyLMTD
Średniwymagana powierzchnia
Trudnypełne projektowanie

Najważniejsze wzory

Moc cieplna: Q = U·A·ΔT_lm
Średnia logarytmiczna różnica temperatur: ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
Bilans strumieni: Q = ṁc_p(T_in − T_out)

Naucz się tematu Wymienniki ciepła (LMTD) od zera

Wcześniej: Bilans energii

1Co robi wymiennik ciepła

Wymiennik ciepła przenosi ciepło z gorącego płynu do zimnego przez metalową ściankę, na przykład rura z gorącym olejem w środku i wodą chłodzącą na zewnątrz.

To, ile ciepła może przenieść, zależy od trzech rzeczy: jak dobrze ścianka przewodzi ciepło, ile jest ścianki i jak duża jest różnica temperatur między płynami.

Q = U · A · ΔT_lm

Q: moc cieplna w W.
U: całkowity współczynnik przenikania ciepła w W/(m²·K). Większe U oznacza lepszy wymiennik.
A: pole powierzchni wymiany ciepła w m².
ΔT_lm: średnia logarytmiczna różnica temperatur, właściwa „średnia” różnica temperatur.

Strumienie mogą płynąć w tym samym kierunku (przepływ współprądowy) lub w przeciwnych kierunkach (przepływ przeciwprądowy).

Na rysunku lewy wymiennik jest współprądowy, a prawy przeciwprądowy. W układzie przeciwprądowym na całej długości utrzymuje się większa różnica temperatur, więc przy tym samym polu powierzchni przenosi więcej ciepła.

2Dlaczego średnia logarytmiczna

Różnica temperatur między płynami nie jest wszędzie taka sama. Wzdłuż wymiennika gorący płyn stygnie, a zimny się ogrzewa, więc różnica zmienia się od jednego końca do drugiego.

Nazwij różnice na dwóch końcach ΔT₁ i ΔT₂. Różnica nie zmienia się liniowo, więc zwykła średnia nie jest właściwa. Poprawną średnią jest średnia logarytmiczna:

ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂) / ln(ΔT₁ / ΔT₂)

To, które temperatury stoją naprzeciw siebie na każdym końcu, zależy od układu:

Przeciwprąd: ΔT₁ = T_h,in − T_c,out oraz ΔT₂ = T_h,out − T_c,in.
Współprąd: ΔT₁ = T_h,in − T_c,in oraz ΔT₂ = T_h,out − T_c,out.

Średnia logarytmiczna zawsze leży nieco poniżej średniej arytmetycznej. Jeśli ΔT₁ = ΔT₂, to ΔT_lm jest po prostu równe tej wartości.

Samosprawdzenie Przeciwprąd: gorący płyn przechodzi od 100 do 60 °C, zimny od 20 do 50 °C. Jakie są różnice na końcach?

40 K i 30 K
50 K i 10 K
50 K i 40 K
80 K i 10 K

Odpowiedź: 50 K i 40 K. W przeciwprądzie wlot gorącego płynu stoi naprzeciw wylotu zimnego (100 − 50 = 50 K), a wylot gorącego naprzeciw wlotu zimnego (60 − 20 = 40 K). Wartości 80 K i 10 K to zestawienie dla współprądu.

3Metoda krok po kroku

Zapisz cztery temperatury i sprawdź, czy przepływ jest przeciwprądowy, czy współprądowy.
Jeśli brakuje temperatury wylotowej, najpierw znajdź ją z bilansu energii: Q = ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(T_c,out − T_c,in).
Znajdź różnice na końcach ΔT₁ i ΔT₂ z właściwym zestawieniem.
Oblicz ΔT_lm za pomocą logarytmu naturalnego.
Dla pola powierzchni: A = Q/(U·ΔT_lm). Podaj Q w W (kW × 1000), gdy U jest w W/(m²·K).

Samosprawdzenie Różnice na końcach wynoszą ΔT₁ = 40 K i ΔT₂ = 20 K. Ile wynosi ΔT_lm?

13,86 K
20 K
28,85 K
30 K

Odpowiedź: 28,85 K. ΔT_lm = (40 − 20)/ln(40/20) = 20/0,693 = 28,85 K. Średnia arytmetyczna, 30 K, jest bliska, ale zbyt wysoka.

4Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

Wymiennik przeciwprądowy przenosi 100 kW. Gorący płyn stygnie od 120 do 60 °C, a zimny ogrzewa się od 20 do 50 °C. Całkowity współczynnik przenikania ciepła wynosi 500 W/(m²·K). Znajdź pole powierzchni wymiany ciepła A.

Naszkicuj temperatury

To przeciwprąd, więc wlot gorącego (120 °C) stoi naprzeciw wylotu zimnego (50 °C).

Różnice na końcach

ΔT₁ = 120 − 50 = 70 K

ΔT₂ = 60 − 20 = 40 K

Średnia logarytmiczna różnica temperatur

ΔT_lm = (70 − 40) / ln(70/40) = 30 / 0,5596 = 53,61 K

Powierzchnia

Q = 100 kW = 100 000 W.

A = Q / (U · ΔT_lm) = 100 000 / (500 · 53,61) = 3,73 m²

Sprawdź wynik

ΔT_lm = 53,61 K leży między 40 a 70 K i tuż poniżej ich średniej 55 K, jak być powinno.

We współprądzie końce miałyby różnice 100 K i 10 K, co daje ΔT_lm = 39,09 K i A = 5,12 m². Przeciwprąd wymaga mniejszego pola powierzchni.

Odpowiedź

A ≈ 3,73 m² (ΔT_lm = 53,61 K).

5Typowe błędy

Zestawianie temperatur jak dla współprądu w wymienniku przeciwprądowym albo odwrotnie.
Użycie średniej arytmetycznej zamiast logarytmicznej.
Użycie zmiany temperatury jednego strumienia (na przykład 120 − 60) jako ΔT₁. ΔT to zawsze temperatura gorąca minus zimna na tym samym końcu.
Pozostawienie Q w kW, gdy U jest w W/(m²·K). Pole wychodzi 1000 razy za małe.
Użycie log₁₀ zamiast ln.

Samosprawdzenie Q = 50 kW, U = 500 W/(m²·K) i ΔT_lm = 25 K. Jakie pole powierzchni jest potrzebne?

0,004 m²
0,25 m²
4 m²
4000 m²

Odpowiedź: 4 m². A = 50 000/(500 · 25) = 4 m². Pozostawienie Q w kW daje 0,004 m², czyli 1000 razy za mało. Wynik 0,25 m² powstaje po odwróceniu ułamka.

6Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

Łatwe: znajdź ΔT_lm dla wymiennika przeciwprądowego na podstawie czterech temperatur.
Średnie: znajdź pole powierzchni A dla danej mocy i U, w przeciwprądzie lub współprądzie, jak w przykładzie.
Trudne: pełne projektowanie. Temperatura wylotowa wody nie jest podana: znajdź Q ze strumienia gorącego, temperaturę wylotową wody z bilansu energii, a potem ΔT_lm i A.

Niektóre zadania dotyczą skraplacza: strona gorąca skrapla się w jednej stałej temperaturze. Wtedy obie różnice na końcach używają tej temperatury, a przeciwprąd i współprąd dają to samo ΔT_lm.

Ucz się krok po kroku w aplikacji Ucz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy

W przeciwprądowym wymienniku ciepła gorący płyn stygnie od 100 do 80 °C, a zimny nagrzewa się od 30 do 85 °C. Wyznacz średnią logarytmiczną różnicę temperatur ΔT_lm.

T_h: 100 → 80 °CT_c: 30 → 85 °C

Oblicz ΔT_lm (K)

Pokaż podpowiedzi

Wyznacz różnicę temperatur między strumieniami na każdym końcu wymiennika.
W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.
ΔT₁ = 15 K, ΔT₂ = 50 K.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔT_lm, gdzie ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔT_lm niż współprąd.

Różnice temperatur na końcach

W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.

ΔT₁ = T_h,in − T_c,out = 100 − 85 = 15 K

ΔT₂ = T_h,out − T_c,in = 80 − 30 = 50 K

Średnia logarytmiczna różnica temperatur

ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (15 − 50)/ln(15/50) = 29,07 K

Odpowiedź

ΔT_lm = 29,07 K

Przykład 2Średni

Współprądowy wymiennik ciepła przekazuje 60 kW. Gorący płyn stygnie od 165 do 115 °C, a zimny nagrzewa się od 10 do 80 °C. Współczynnik przenikania ciepła wynosi 500 W/(m²·K). Wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.

Q̇ = 60 kWU = 500 W/(m²·K)T_h: 165 → 115 °CT_c: 10 → 80 °C

Oblicz A (m²)

Pokaż podpowiedzi

Użyj Q̇ = U·A·ΔT_lm i wyznacz A.
We współprądzie oba wloty są na tym samym końcu, a oba wyloty na drugim.
ΔT_lm = 80,64 K.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Różnice temperatur na końcach

We współprądzie oba wloty są na tym samym końcu, a oba wyloty na drugim.

ΔT₁ = T_h,in − T_c,in = 165 − 10 = 155 K

ΔT₂ = T_h,out − T_c,out = 115 − 80 = 35 K

Średnia logarytmiczna różnica temperatur

ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (155 − 35)/ln(155/35) = 80,64 K

Powierzchnia

A = Q̇/(U·ΔT_lm) = 60000/(500·80,64) = 1,488 m²

Odpowiedź

A = 1,488 m²

Przykład 3Trudny

Para skrapla się w stałej temperaturze 105 °C na zewnętrznej powierzchni rur skraplacza o powierzchni wymiany ciepła 3 m² i U = 1500 W/(m²·K). Woda chłodząca (1 kg/s, c_p = 4,18 kJ/(kg·K)) wpływa do rur z temperaturą 10 °C. Wyznacz temperaturę wody na wylocie T_c,out.

T_s = 105 °CA = 3 m²U = 1500 W/(m²·K)ṁ = 1 kg/sc_p = 4,18 kJ/(kg·K)T_c,in = 10 °C

Oblicz T_c,out (°C)

Pokaż podpowiedzi

Temperatura na wylocie jest nieznana, więc LMTD nie da się obliczyć bezpośrednio. Połącz Q̇ = ṁc_p(T_c,out − T_c,in) z Q̇ = U·A·ΔT_lm.
Daje to ln((T_s − T_c,in)/(T_s − T_c,out)) = U·A/(ṁ·c_p).
U·A/(ṁ·c_p) = 1,077.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔT_lm, with ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔT_lm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Połącz bilans energii z równaniem wymiany ciepła

Przy ΔT₁ = T_s − T_c,in i ΔT₂ = T_s − T_c,out różnica ΔT₁ − ΔT₂ jest równa przyrostowi temperatury wody, więc przyrost się skraca.

ṁc_p(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)

ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁc_p) = 1500·3/(1·4180) = 1,077

Temperatura na wylocie

ΔT₂ = ΔT₁·e^−1,077 = 95·0,3408 = 32,37 K

T_c,out = 105 − 32,37 = 72,63 °C

Odpowiedź

T_c,out = 72,63 °C

Przekazane ciepło: Q̇ = 261,8 kW.

Pytania i odpowiedzi

Wymienniki ciepła (LMTD): co to jest?

Wymiennik ciepła przenosi ciepło z gorącego płynu do zimnego przez metalową ściankę, na przykład rura z gorącym olejem w środku i wodą chłodzącą na zewnątrz.

To, ile ciepła może przenieść, zależy od trzech rzeczy: jak dobrze ścianka przewodzi ciepło, ile jest ścianki i jak duża jest różnica temperatur między płynami.

Wymienniki ciepła (LMTD): jak rozwiązywać zadania krok po kroku?

Wymienniki ciepła (LMTD): jakie błędy są najczęstsze?

Różnica temperatur maleje wykładniczo: Ts − Tc,out = (Ts − Tc,in)·e^{−UA/(ṁcp}).

Wymienniki ciepła (LMTD): co ćwiczysz?

Łatwy: LMTD
Średni: wymagana powierzchnia
Trudny: pełne projektowanie

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Najpierw naucz się

Bilans energii

Kalkulatory

Kalkulator LMTD (średnia logarytmiczna różnica temperatur)

Przedmioty z tym tematem

Wymiana ciepła Przygotowanie do egzaminu FE Chemical

Więcej tematów: Inżynieria chemiczna

Bilans masy Bilans energii Równanie stanu gazu doskonałego Kinetyka reakcji Projektowanie reaktorów (CSTR i PFR)

Karta pracy do druku

Wymienniki ciepła (LMTD): karta pracy z odpowiedziami

Ćwicz za darmo: Wymienniki ciepła (LMTD)Ćwicz teraz: Wymienniki ciepła (LMTD)5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.