物料衡算：练习题及分步解答

免费的物料衡算练习题，附图示、提示和完整详细解答。每次数值都不同，分三个难度：两股物流混合, 按目标混合, 蒸发器。

免费练习题简单
混合器物流 1450 kg/h · 25% 盐物流 2700 kg/h · 15% 盐物流 3ṁ₃ = ? kg/h

两股盐溶液在稳态下混合。求出口流量 ṁ3。

ṁ1 = 450 kg/hx1 = 25 %ṁ2 = 700 kg/hx2 = 15 %
kg/h
下一题 →
免费练习物料衡算立即练习物料衡算每天 5 道免费题目，无需绑定银行卡。

练习内容

  1. 简单两股物流混合
  2. 中等按目标混合
  3. 困难蒸发器

关键公式

稳态
输入 = 输出
总物料衡算
ṁ1 + ṁ2 = ṁ3
组分衡算
ṁ1x1 + ṁ2x2 = ṁ3x3
蒸发器
F·xF = P·xP, W = F − P

从零开始学习物料衡算

1什么是质量衡算

质量不会凭空出现，也不会凭空消失。流入某个过程单元（混合器、储罐、蒸发器）的一切，必须再流出，或留在里面。

许多单元在稳态下运行：流量不随时间变化，内部也没有任何积累。于是规则很简单：

流入 = 流出

想想一个开着水龙头、拔掉了塞子的浴缸。如果水位保持不变，每分钟流出的水就等于流入的水。

流量写成质量流量 ṁ，例如以 kg/h 计。ṁ 读作“m-dot”：上面的点表示“每单位时间”。

自测 一台稳态运行的混合器接收 300 kg/h 和 200 kg/h。流出多少？
  1. 100 kg/h
  2. 250 kg/h
  3. 500 kg/h
  4. 600 kg/h

答案: 500 kg/h. 在稳态下没有积累，所以流出 = 流入 = 300 + 200 = 500 kg/h。250 kg/h 是平均值，在这里没有意义。

2总衡算与组分衡算

物流通常是混合物，例如溶解在水中的盐。质量分数 x 是某一组分所占的份额：20% 的盐表示每 kg 溶液中含 0.20 kg 盐。

物流中该组分的质量是 ṁ·x。没有化学反应时，每种组分也遵循流入 = 流出。所以你可以写出两个衡算式：

ṁ1 + ṁ2 = ṁ3
ṁ1·x1 + ṁ2·x2 = ṁ3·x3

第一个是总衡算，第二个是组分衡算（这里针对盐）。两个独立的方程可以求出两个未知数。

例如：300 kg/h 含 10% 盐的溶液与 200 kg/h 含 20% 盐的溶液混合。进入的盐：30 + 40 = 70 kg/h。流出的总量：500 kg/h。所以 x3 = 70/500 = 14%。

自测 把 300 kg/h 的 10% 盐溶液与 200 kg/h 的 20% 盐溶液混合。混合物的盐分数是多少？
  1. 14%
  2. 15%
  3. 30%
  4. 7%

答案: 14%. 进入的盐 = 300·0.10 + 200·0.20 = 70 kg/h，70/500 = 14%。对分数取简单平均得 15%，这忽略了 10% 的物流量更大。

3蒸发器：联系组分

蒸发器将溶液中的水煮出，使溶液更浓。蒸汽 W 是纯水，所以所有溶质都随产品 P 离开。

F1000 kg/h · 10%P40%W0%

溶质原封不动地通过，只从 F 到 P。这样的组分称为联系组分：它的衡算直接把两股流量联系起来。

F·xF = P·xP, W = F − P

在图中：P = 1000 · 0.10/0.40 = 250 kg/h，W = 1000 − 250 = 750 kg/h 的水被蒸发。

自测 一台蒸发器接收 1000 kg/h 的 10% 糖溶液，制成 40% 的产品。蒸发了多少水？
  1. 250 kg/h
  2. 300 kg/h
  3. 4000 kg/h
  4. 750 kg/h

答案: 750 kg/h. 糖的衡算：P = 1000·0.10/0.40 = 250 kg/h。然后 W = 1000 − 250 = 750 kg/h。250 kg/h 是产品，不是被除去的水。

4分步方法

  1. 为该单元画一个方框，把每股物流画成箭头。在旁边写下每个已知的流量和分数。
  2. 标出未知量。数一数：你需要同样多个独立的衡算式。
  3. 写出总衡算：流入的流量之和 = 流出的流量之和。
  4. 写出溶质的组分衡算：流入的 ṁ·x 之和 = 流出的 ṁ·x 之和。分数用小数（20% = 0.20），或两边都用百分数。
  5. 求解。如果有联系组分，就从它开始。
  6. 检验：把数值代回两个衡算式。

5例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

例题讲解

物流 1 是 400 kg/h 的 10% 盐溶液。每小时必须加入多少物流 2（40% 盐），才能使混合后的产品含 20% 的盐？求 ṁ2。

1

画出单元

ṁ₁ = 400 kg/h10%ṁ₂ = ?40%ṁ₃20%

有两个未知数，ṁ2 和 ṁ3，所以需要两个衡算式。

2

总物料衡算

ṁ3 = 400 + ṁ2
3

盐的衡算

400 · 0.10 + ṁ2 · 0.40 = (400 + ṁ2) · 0.20
40 + 0.40·ṁ2 = 80 + 0.20·ṁ2
4

求解

0.20·ṁ2 = 40 ⇒ ṁ2 = 200 kg/h

于是 ṁ3 = 400 + 200 = 600 kg/h。

5

检验答案

进入的盐：40 + 200 · 0.40 = 120 kg/h。流出的盐：600 · 0.20 = 120 kg/h。两个衡算都成立。

目标 20% 介于 10% 和 40% 之间，掺混时必然如此。

答案

加入 ṁ2 = 200 kg/h 的 40% 溶液。

6常见错误

  • 对分数取平均，而不是按流量加权。
  • 只写总衡算，然后去猜第二个未知数。
  • 在同一个方程中混用百分数和小数。
  • 在蒸发器中，题目问蒸发的水 W 时给出了产品 P，或者反过来。
  • 把联系组分的比值颠倒：P = F·xF/xP，所以 P 小于 F。
自测 把 100 kg/h 的 10% 溶液与 300 kg/h 的 30% 溶液混合。出口的分数是多少？
  1. 20%
  2. 25%
  3. 33.3%
  4. 40%

答案: 25%. 流出的溶质 = 100·0.10 + 300·0.30 = 100 kg/h，100/400 = 25%。对 10% 和 30% 取简单平均得 20%，这忽略了 30% 的物流是前者的三倍。

7考试题是什么样的

  • 简单：两股物流混合。求出口流量（总衡算）或其分数（组分衡算）。
  • 中等：掺混到目标分数。如例题那样，用两个衡算式求第二股物流的流量。
  • 困难：蒸发器。以溶质为联系组分求 P，然后 W = F − P。

掺混的一个捷径：ṁ2 = ṁ1·(x1 − x3)/(x3 − x2)。在例题中：400·(10 − 20)/(20 − 40) = 200 kg/h。

在应用中一步一步地学在应用中一步一步地学

例题详解

例题 1简单
混合器物流 1300 kg/h · 30% 盐物流 2250 kg/h · 40% 盐物流 3x₃ = ? %

两股盐溶液在稳态下混合。求出口中盐的质量分数 x3。

ṁ1 = 300 kg/hx1 = 30 %ṁ2 = 250 kg/hx2 = 40 %

求： x3 (%)

显示提示
  1. 稳态下进多少出多少：列总物料衡算和溶质组分衡算。
  2. 总量：ṁ₁ + ṁ₂ = ṁ₃。组分：ṁ₁x₁ + ṁ₂x₂ = ṁ₃x₃。
  3. ṁ3 = 550 kg/h.
显示答案和分步解答

稳态物料衡算：输入 = 输出，对总质量和每个组分分别成立（无反应）。

总物料衡算

ṁ3 = ṁ1 + ṁ2 = 300 + 250 = 550 kg/h

盐衡算

ṁ1x1 + ṁ2x2 = ṁ3x3
x3 = (300·30 + 250·40)/550 = 34.55 %

答案

x3 = 34.55 %
例题 2中等
混合器物流 1850 kg/h · 50% 糖物流 2ṁ₂ = ? · 15% 糖产品40% 糖

每小时需向物流 1 加入多少物流 2，才能使混合产品含 40% 的糖？求 ṁ2。

ṁ1 = 850 kg/hx1 = 50 %x2 = 15 %x3 = 40 %

求： ṁ2 (kg/h)

显示提示
  1. 两个未知量（ṁ₂ 和 ṁ₃）需要两个衡算式：总量和组分。
  2. 将 ṁ₃ = ṁ₁ + ṁ₂ 代入 ṁ₁x₁ + ṁ₂x₂ = ṁ₃x₃。
  3. 整理得：ṁ₂ = ṁ₁(x₁ − x₃)/(x₃ − x₂)。
显示答案和分步解答

稳态物料衡算：总量和每个组分都满足输入 = 输出。混合问题同时用到两者。

衡算

Total: ṁ3 = ṁ1 + ṁ2
糖: ṁ1x1 + ṁ2x2 = (ṁ1 + ṁ2)x3

求解 ṁ2

ṁ2 = ṁ1(x1 − x3)/(x3 − x2) = 850·(50 − 40)/(40 − 15) = 340 kg/h

答案

ṁ2 = 340 kg/h
例题 3困难
蒸发器进料 F2000 kg/h · 10% NaOH产品 P65% NaOH蒸汽 W（纯水）W = ? kg/h

蒸发器通过蒸出纯水来浓缩NaOH溶液。求蒸发的水量 W，单位为 kg/h。

F = 2000 kg/hxF = 10 %xP = 65 %

求： W (kg/h)

显示提示
  1. 蒸汽中不含溶质，所以进料中的全部溶质都随产品离开。
  2. 溶质衡算：F·xF = P·xP。再列总衡算：F = W + P。
  3. P = 307.7 kg/h.
显示答案和分步解答

联结组分：只在一股物流中不变地通过的组分（这里是溶质）可直接关联各流量。其余由总衡算求出。

溶质衡算

F·xF = P·xP → P = 2000·10/65 = 307.7 kg/h

总物料衡算

W = F − P = 2000 − 307.7 = 1692 kg/h

答案

W = 1692 kg/h

问与答

什么是物料衡算？

质量不会凭空出现，也不会凭空消失。流入某个过程单元（混合器、储罐、蒸发器）的一切，必须再流出，或留在里面。

许多单元在稳态下运行：流量不随时间变化，内部也没有任何积累。于是规则很简单：

物料衡算题目如何一步步求解？

稳态物料衡算：输入 = 输出，对总质量和每个组分分别成立（无反应）。

物料衡算练习包括哪些内容？
  • 简单: 两股物流混合
  • 中等: 按目标混合
  • 困难: 蒸发器

每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。

练习方式

  • 每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。
  • 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。
  • 你的进度、错题和收藏的题目都会保留，方便考前复习。

本主题的前后主题

接下来学习

能量衡算

包含此主题的课程

物料与能量衡算化学反应工程FE 化工考试练习

化工中的更多主题

能量衡算理想气体定律反应动力学反应器尺寸计算（CSTR 与 PFR）换热器 (LMTD)

可打印练习卷

物料衡算练习卷（附答案）
免费练习物料衡算立即练习物料衡算每天 5 道免费题目，无需绑定银行卡。