反应器尺寸计算（CSTR 与 PFR）：练习题及分步解答

免费的反应器尺寸计算（CSTR 与 PFR）练习题，附图示、提示和完整详细解答。每次数值都不同，分三个难度：CSTR 一级反应, PFR 一级反应, 由体积求转化率。

免费练习题简单
V = ?, k = 0.08 min⁻¹Q = 80 L/minX = 50%

一个 k = 0.08 min⁻¹ 的液相一级反应 A → B 在进料流量为 80 L/min 的连续搅拌釜式反应器（CSTR）中进行。 密度恒定，反应器处于稳态。求使 A 的转化率达到 50% 所需的反应器体积 V，以升计。

Q = 80 L/mink = 0.08 min⁻¹X = 50%
L
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练习内容

  1. 简单CSTR 一级反应
  2. 中等PFR 一级反应
  3. 困难由体积求转化率

关键公式

空时
τ = V/Q
CSTR，一级反应
τ = X/(k·(1 − X)), CA = CA0/(1 + kτ)
PFR，一级反应
τ = ln(1/(1 − X))/k, CA = CA0·e−kτ
由体积求转化率
CSTR: X = kτ/(1 + kτ), PFR: X = 1 − e−kτ
N 个相同 CSTR 串联
X = 1 − 1/(1 + kτi)N

从零开始学习反应器尺寸计算（CSTR 与 PFR）

学习本课之前： 反应动力学

1什么是反应器设计

在工业中，反应通常在连续反应器中进行：进料一直流入，产物一直流出。问题是反应器必须多大，才能转化足够的进料。

两种理想反应器涵盖了大多数考试题目：

  • CSTR（连续搅拌釜式反应器）：带搅拌器的釜。它是完全混合的，所以整个釜内的浓度与出口浓度相同。
  • PFR（活塞流反应器）：一根长管。每一薄层流体向前移动时与前后的薄层不混合，就像一排微小的间歇反应器。
QCA0CAV
QCA0CAV

这里的反应是一级反应，−rA = k·CA，密度保持不变，反应器在稳态下运行。

2空时与转化率

空时 τ 是反应器体积除以进料的体积流量。它是流体在内部停留的平均时间：

τ = V / Q

一个 200 L 的反应器以 25 L/min 进料，τ = 200/25 = 8 min。

转化率 X 是已反应的 A 的比例：CA = CA0·(1 − X)。75% 的转化率意味着剩下四分之一的 A。

对于一级反应，一切都取决于一个数，即乘积 k·τ。更大的反应器、更慢的进料或更快的反应都会提高 kτ，从而提高转化率。

自测 一个 200 L 的反应器以 25 L/min 进料。空时 τ 是多少？
  1. 0.125 min
  2. 225 min
  3. 5000 min
  4. 8 min

答案: 8 min. τ = V/Q = 200 L / 25 L/min = 8 min。相乘（5000）或把比值颠倒（0.125）会得到错误的单位：结果必须是时间。

3设计方程

CSTR 处处在较低的出口浓度下反应。对 A 作物料衡算得到：

CSTR: τ = X / (k·(1 − X)), CA = CA0 / (1 + kτ), X = kτ / (1 + kτ)

在 PFR 中，每一薄层的表现都像一个间歇反应器，所以动力学中的一级衰减适用，t = τ：

PFR: τ = ln(1/(1 − X)) / k, CA = CA0·e−kτ, X = 1 − e−kτ

然后体积为 V = Q·τ。

对于相同的转化率，CSTR 总是比 PFR 需要更大的体积，因为它在最低的浓度下反应。转化率高时，差距迅速扩大。

几个相同的 CSTR 串联，表现得越来越像 PFR。每个釜把浓度除以 (1 + kτi)，所以 N 个釜后 X = 1 − 1/(1 + kτi)N。

自测 对于相同的进料、速率常数和转化率，哪种理想反应器需要更大的体积？
  1. CSTR
  2. PFR
  3. 两者需要相同的体积
  4. 取决于进料浓度

答案: CSTR. CSTR 完全在较低的出口浓度下运行，所以处处速率都低。在 PFR 中，大部分流体处于较高的浓度下，反应更快。

4分步方法

  1. 确定是哪种反应器：搅拌釜（CSTR）还是管式（PFR）。对于串联的釜，一次处理一个釜。
  2. 把转化率写成小数：85% 即 X = 0.85。
  3. 求 τ：如果给出体积，用 V/Q；如果给出转化率，用设计方程。
  4. 对未知量使用相应的设计方程：τ、V = Q·τ、CA 或 X。
  5. 检验：CSTR 的结果比同样大小的 PFR 需要更大的体积（或给出更低的转化率）。

5例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

例题讲解

一个液相一级反应 A → B 的 k = 0.15 min⁻¹，在以 25 L/min 进料的 CSTR 中进行。密度恒定，反应器处于稳态。求使 A 的转化率达到 75% 所需的反应器体积 V。

1

画出反应器

Q = 25 L/minCA0X = 0.75V = ?

这是一个 CSTR，所以整个釜都在出口浓度 CA0·(1 − X) 下工作。

2

空时

τ = X / (k·(1 − X)) = 0.75 / (0.15 · 0.25) = 20 min
3

体积

V = Q · τ = 25 · 20 = 500 L
4

检验答案

代回检验：kτ = 0.15 · 20 = 3，所以 X = 3/(1 + 3) = 0.75。正确。

PFR 需要 τ = ln 4/0.15 = 9.24 min，所以 V = 231 L。CSTR 约大 2.2 倍，符合预期。

答案

V = 500 L（空时 20 min）。

6常见错误

  • 对 CSTR 使用 PFR 的方程，或者反过来。
  • 在方程中使用体积 V 而不是空时 τ = V/Q。
  • 在 CSTR 方程中忘了 (1 − X)。
  • 在 PFR 方程中使用 log₁₀。它应该是自然对数 ln。
  • 题目问以升计的体积时，却给出以分钟计的 τ：要乘以 Q。
  • 对于串联的釜，把它们当作一个总体积的釜。
自测 一个 250 L 的 CSTR 以 25 L/min 进料，k = 0.15 min⁻¹（一级）。它能达到多大的转化率？
  1. 150%
  2. 60%
  3. 77.7%
  4. 97.4%

答案: 60%. τ = 10 min，所以 kτ = 1.5，X = 1.5/2.5 = 60%。77.7% 是 PFR 的结果 1 − e⁻¹·⁵，而 97.4% 来自使用 V = 250 而不是 τ。

7考试题是什么样的

  • 简单：一级动力学的 CSTR。求 τ、体积或出口浓度。
  • 中等：对 PFR 做同样的计算，或求给定转化率下的比值 VCSTR/VPFR。
  • 困难：由给定体积求转化率：一个 CSTR、一个 PFR，或两个相同的 CSTR 串联。

串联示例：两个 400 L 的 CSTR，以 10 L/min 进料，k = 0.05 min⁻¹。每个釜的 kτ = 0.05 · 40 = 2，所以 C/CA0 = 1/3² = 1/9，X = 88.9%。一个 800 L 的釜只能给出 80%。

在应用中一步一步地学在应用中一步一步地学

例题详解

例题 1简单
V = 800 L, k = 0.4 min⁻¹Q = 20 L/minCA0​ = 2.5 mol/LCA​ = ?

液相一级反应 A → B（k = 0.4 min⁻¹）在一个 800 L 的连续搅拌釜式反应器（CSTR）中进行。 进料流量为 20 L/min，CA0 = 2.5 mol/L。密度恒定，反应器处于稳态。求出口浓度 CA。

V = 800 LQ = 20 L/mink = 0.4 min⁻¹CA0 = 2.5 mol/L

求： CA (mol/L)

显示提示
  1. 空时：τ = V/Q = 40 min。
  2. CSTR，一级：CA = CA0/(1 + kτ)。
  3. kτ = 16.
显示答案和分步解答

稳态下理想反应器中的一级反应（−rA = k·CA），空时 τ = V/Q。CSTR 是全混的，因此整个体积都在较低的出口浓度下反应：τ = X/(k·(1 − X))，CA = CA0/(1 + k·τ)。在 PFR 中，每一薄层流体都像一个小间歇反应器那样反应：τ = ln(1/(1 − X))/k，CA = CA0·e−k·τ。达到相同转化率时，CSTR 所需体积总是大于 PFR。

空时

τ = V/Q = 800/20 = 40 min

出口浓度

CA = 2.5/(1 + 0.4·40) = 0.1471 mol/L

答案

CA = 0.1471 mol/L

转化率：X = 94.12%。

例题 2中等
Q = 20 L/minCA0​ = 2.5 mol/LCA​ = ?V = 200 L, k = 0.25 min⁻¹

液相一级反应 A → B（k = 0.25 min⁻¹）在一个 200 L 的平推流反应器（PFR）中进行。 进料流量为 20 L/min，CA0 = 2.5 mol/L。密度恒定，反应器处于稳态。求出口浓度 CA。

V = 200 LQ = 20 L/mink = 0.25 min⁻¹CA0 = 2.5 mol/L

求： CA (mol/L)

显示提示
  1. 空时：τ = V/Q = 10 min。
  2. PFR，一级：CA = CA0·e^(−kτ)。
  3. kτ = 2.5.
显示答案和分步解答

稳态下理想反应器中的一级反应（−rA = k·CA），空时 τ = V/Q。CSTR 是全混的，因此整个体积都在较低的出口浓度下反应：τ = X/(k·(1 − X))，CA = CA0/(1 + k·τ)。在 PFR 中，每一薄层流体都像一个小间歇反应器那样反应：τ = ln(1/(1 − X))/k，CA = CA0·e−k·τ。达到相同转化率时，CSTR 所需体积总是大于 PFR。

空时

τ = V/Q = 200/20 = 10 min

出口浓度

CA = 2.5·e−0.25·10 = 0.2052 mol/L

答案

CA = 0.2052 mol/L

转化率：X = 91.79%。

例题 3困难
Q = 25 L/minX = ?V = 50 L

一个液相一级反应（k = 0.5 min⁻¹）在进料流量为 25 L/min 的 50 L 平推流反应器（PFR）中进行。密度恒定，反应器处于稳态。求转化率 X，以百分比计。

V = 50 LQ = 25 L/mink = 0.5 min⁻¹

求： X (%)

显示提示
  1. 每个反应器的空时：τ = V/Q = 2 min，所以 kτ = 1。
  2. PFR：X = 1 − e^(−kτ)。
  3. X 以百分比给出。
显示答案和分步解答

稳态下理想反应器中的一级反应（−rA = k·CA），空时 τ = V/Q。CSTR 是全混的，因此整个体积都在较低的出口浓度下反应：τ = X/(k·(1 − X))，CA = CA0/(1 + k·τ)。在 PFR 中，每一薄层流体都像一个小间歇反应器那样反应：τ = ln(1/(1 − X))/k，CA = CA0·e−k·τ。达到相同转化率时，CSTR 所需体积总是大于 PFR。

空时

τ = V/Q = 50/25 = 2 min, kτ = 0.5·2 = 1

转化率

X = 1 − e−kτ = 1 − e−1 = 63.21%

答案

X = 63.21%

问与答

什么是反应器尺寸计算（CSTR 与 PFR）？

在工业中，反应通常在连续反应器中进行：进料一直流入，产物一直流出。问题是反应器必须多大，才能转化足够的进料。

两种理想反应器涵盖了大多数考试题目：

反应器尺寸计算（CSTR 与 PFR）题目如何一步步求解？

稳态下理想反应器中的一级反应（−rA = k·CA），空时 τ = V/Q。CSTR 是全混的，因此整个体积都在较低的出口浓度下反应：τ = X/(k·(1 − X))，CA = CA0/(1 + k·τ)。在 PFR 中，每一薄层流体都像一个小间歇反应器那样反应：τ = ln(1/(1 − X))/k，CA = CA0·e−k·τ。达到相同转化率时，CSTR 所需体积总是大于 PFR。

反应器尺寸计算（CSTR 与 PFR）有哪些常见错误？
  • CA0·e−kτ 是 PFR（或间歇反应器）的结果。CSTR 在出口浓度下反应：CA = CA0/(1 + kτ)。
  • 在速率表达式中使用空时 τ = V/Q，而不是体积。
  • CA0/(1 + kτ) 是 CSTR 的结果。在 PFR 中浓度呈指数衰减：CA = CA0·e−kτ。
反应器尺寸计算（CSTR 与 PFR）练习包括哪些内容？
  • 简单: CSTR 一级反应
  • 中等: PFR 一级反应
  • 困难: 由体积求转化率

每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。

练习方式

  • 每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。
  • 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。
  • 你的进度、错题和收藏的题目都会保留，方便考前复习。

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