换热器 (LMTD)：练习题及分步解答

免费的换热器 (LMTD)练习题，附图示、提示和完整详细解答。每次数值都不同，分三个难度：LMTD, 所需面积, 完整设计。

免费练习题简单
长度T115 °C100 °C100 °C15 °CΔT₁ΔT₂逆流

在逆流换热器中，热流体从 115 冷却到 100 °C，冷流体从 15 加热到 100 °C。求对数平均温差 ΔTlm。

Th: 115 → 100 °CTc: 15 → 100 °C
K
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练习内容

  1. 简单LMTD
  2. 中等所需面积
  3. 困难完整设计

关键公式

热负荷
Q = U·A·ΔTlm
对数平均温差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
物流热量衡算
Q = ṁcp(Tin − Tout)

从零开始学习换热器 (LMTD)

学习本课之前： 能量衡算

1换热器的作用

换热器通过金属壁把热量从热流体传给冷流体，例如管内是热油、管外是冷却水的管子。

它能传递多少热量取决于三件事：壁传热的好坏、壁有多少，以及流体之间的温差有多大。

Q = U · A · ΔTlm
  • Q：热负荷，单位 W。
  • U：总传热系数，单位 W/(m²·K)。U 越大，换热器越好。
  • A：传热面积，单位 m²。
  • ΔTlm：对数平均温差，即恰当的“平均”温差。

流体可以沿同一方向流动（并流），也可以沿相反方向流动（逆流）。

hc⇉hc⇄

在图中，左边的换热器是并流，右边的是逆流。逆流在整个长度上保持更大的温差，所以在相同面积下传递更多热量。

2为什么用对数平均

流体之间的温差并不是处处相同。沿换热器，热流体冷却而冷流体升温，所以温差从一端到另一端在变化。

Tx120 °C50 °C60 °C20 °CΔT₁ΔT₂

把两端的温差记为 ΔT1 和 ΔT2。温差不是沿直线变化，所以简单的算术平均不正确。正确的平均是对数平均：

ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2) / ln(ΔT1 / ΔT2)

每一端哪些温度相对，取决于流动布置：

  • 逆流：ΔT1 = Th,in − Tc,out，ΔT2 = Th,out − Tc,in。
  • 并流：ΔT1 = Th,in − Tc,in，ΔT2 = Th,out − Tc,out。

对数平均总是略低于算术平均。如果 ΔT1 = ΔT2，ΔTlm 就是这个值。

自测 逆流：热流体从 100 降到 60 °C，冷流体从 20 升到 50 °C。两端的温差各是多少？
  1. 40 K 和 30 K
  2. 50 K 和 10 K
  3. 50 K 和 40 K
  4. 80 K 和 10 K

答案: 50 K 和 40 K. 在逆流中，热流体入口对着冷流体出口（100 − 50 = 50 K），热流体出口对着冷流体入口（60 − 20 = 40 K）。80 K 和 10 K 是并流的配对。

3分步方法

  1. 写下四个温度，并检查流动是逆流还是并流。
  2. 如果缺少某个出口温度，先用能量衡算求出：Q = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(Tc,out − Tc,in)。
  3. 用正确的配对求两端温差 ΔT1 和 ΔT2。
  4. 用自然对数计算 ΔTlm。
  5. 求面积：A = Q/(U·ΔTlm)。当 U 以 W/(m²·K) 为单位时，Q 要用 W（kW × 1000）。
自测 两端温差为 ΔT₁ = 40 K 和 ΔT₂ = 20 K。ΔTlm 是多少？
  1. 13.86 K
  2. 20 K
  3. 28.85 K
  4. 30 K

答案: 28.85 K. ΔTlm = (40 − 20)/ln(40/20) = 20/0.693 = 28.85 K。算术平均 30 K 很接近，但偏高。

4例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

例题讲解

一台逆流换热器传递 100 kW。热流体从 120 °C 冷却到 60 °C，冷流体从 20 °C 加热到 50 °C。总传热系数为 500 W/(m²·K)。求传热面积 A。

1

画出温度示意图

Tx120 °C50 °C60 °C20 °CΔT₁ΔT₂

逆流，所以热流体入口（120 °C）对着冷流体出口（50 °C）。

2

两端温差

ΔT1 = 120 − 50 = 70 K
ΔT2 = 60 − 20 = 40 K
3

对数平均温差

ΔTlm = (70 − 40) / ln(70/40) = 30 / 0.5596 = 53.61 K
4

面积

Q = 100 kW = 100 000 W。

A = Q / (U · ΔTlm) = 100 000 / (500 · 53.61) = 3.73 m²
5

检验答案

ΔTlm = 53.61 K 介于 40 和 70 K 之间，并略低于它们的平均值 55 K，这是应有的结果。

在并流中，两端温差将是 100 K 和 10 K，得到 ΔTlm = 39.09 K，A = 5.12 m²。逆流所需的面积更小。

答案

A ≈ 3.73 m²（ΔTlm = 53.61 K）。

5常见错误

  • 在逆流换热器中按并流配对温度，或者反过来。
  • 使用算术平均而不是对数平均。
  • 把一股流体的温度变化（例如 120 − 60）当作 ΔT1。ΔT 总是同一端的热减冷。
  • Q 留在 kW 而 U 以 W/(m²·K) 为单位。面积的结果会小 1000 倍。
  • 使用 log₁₀ 而不是 ln。
自测 Q = 50 kW，U = 500 W/(m²·K)，ΔTlm = 25 K。需要多大面积？
  1. 0.004 m²
  2. 0.25 m²
  3. 4 m²
  4. 4000 m²

答案: 4 m². A = 50 000/(500 · 25) = 4 m²。Q 留在 kW 会得到 0.004 m²，小了 1000 倍。0.25 m² 是把分数颠倒得到的。

6考试题是什么样的

  • 简单：由四个温度求逆流换热器的 ΔTlm。
  • 中等：如例题那样，对给定的热负荷和 U，在逆流或并流下求面积 A。
  • 困难：完整的设计。水的出口温度未给出：由热流体求 Q，由能量衡算求水的出口温度，然后求 ΔTlm 和 A。

有些题目使用冷凝器：热侧在同一个恒定温度下冷凝。这时两端温差都使用该温度，逆流或并流给出相同的 ΔTlm。

在应用中一步一步地学在应用中一步一步地学

例题详解

例题 1简单
长度T100 °C80 °C85 °C30 °CΔT₁ΔT₂逆流

在逆流换热器中，热流体从 100 冷却到 80 °C，冷流体从 30 加热到 85 °C。求对数平均温差 ΔTlm。

Th: 100 → 80 °CTc: 30 → 85 °C

求： ΔTlm (K)

显示提示
  1. 求换热器两端两股流体之间的温差。
  2. 逆流时，热流体入口对着冷流体出口，热流体出口对着冷流体入口。
  3. ΔT₁ = 15 K, ΔT₂ = 50 K.
显示答案和分步解答

对数平均温差法 (LMTD)：两股流体之间的温差沿换热器变化，因此传热方程使用其对数平均值：Q̇ = U·A·ΔTlm，其中 ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)，ΔT₁ 和 ΔT₂ 为两端温差。进出口温度相同时，逆流的 ΔTlm 大于并流。

两端温差

逆流时，热流体入口对着冷流体出口，热流体出口对着冷流体入口。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 85 = 15 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 30 = 50 K

对数平均温差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (15 − 50)/ln(15/50) = 29.07 K

答案

ΔTlm = 29.07 K
例题 2中等
长度T165 °C115 °C10 °C80 °CΔT₁ΔT₂并流

一台并流换热器传热 60 kW。 热流体从 165 冷却到 115 °C，冷流体从 10 加热到 80 °C。总传热系数为 500 W/(m²·K)。求所需传热面积 A。

Q̇ = 60 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 165 → 115 °CTc: 10 → 80 °C

求： A (m²)

显示提示
  1. 使用 Q̇ = U·A·ΔTlm 并求解 A。
  2. 并流时，两个入口在同一端，两个出口在另一端。
  3. ΔTlm = 80.64 K.
显示答案和分步解答

对数平均温差法 (LMTD)：两股流体之间的温差沿换热器变化，因此传热方程使用其对数平均值：Q̇ = U·A·ΔTlm，其中 ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)，ΔT₁ 和 ΔT₂ 为两端温差。进出口温度相同时，逆流的 ΔTlm 大于并流。

两端温差

并流时，两个入口在同一端，两个出口在另一端。

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 165 − 10 = 155 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 115 − 80 = 35 K

对数平均温差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (155 − 35)/ln(155/35) = 80.64 K

面积

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 60000/(500·80.64) = 1.488 m²

答案

A = 1.488 m²
例题 3困难
长度T105 °C10 °C?ΔT₁ΔT₂冷凝蒸汽

在一台传热面积为 3 m²、U = 1500 W/(m²·K) 的冷凝器中，蒸汽在管外以恒定的 105 °C 冷凝。冷却水（1 kg/s，cp = 4.18 kJ/(kg·K)）以 10 °C 进入管内。求水的出口温度 Tc,out。

Ts = 105 °CA = 3 m²U = 1500 W/(m²·K)ṁ = 1 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °C

求： Tc,out (°C)

显示提示
  1. 出口温度未知，所以不能直接计算 LMTD。把 Q̇ = ṁcp(Tc,out − Tc,in) 与 Q̇ = U·A·ΔTlm 联立。
  2. 由此得 ln((Ts − Tc,in)/(Ts − Tc,out)) = U·A/(ṁ·cp)。
  3. U·A/(ṁ·cp) = 1.077.
显示答案和分步解答

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

联立能量平衡与传热方程

取 ΔT₁ = Ts − Tc,in，ΔT₂ = Ts − Tc,out，则 ΔT₁ − ΔT₂ 等于水的温升，所以温升被约去。

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1500·3/(1·4180) = 1.077

出口温度

ΔT₂ = ΔT₁·e−1.077 = 95·0.3408 = 32.37 K
Tc,out = 105 − 32.37 = 72.63 °C

答案

Tc,out = 72.63 °C

传递的热量：Q̇ = 261.8 kW。

问与答

什么是换热器 (LMTD)？

换热器通过金属壁把热量从热流体传给冷流体，例如管内是热油、管外是冷却水的管子。

它能传递多少热量取决于三件事：壁传热的好坏、壁有多少，以及流体之间的温差有多大。

换热器 (LMTD)题目如何一步步求解？

对数平均温差法 (LMTD)：两股流体之间的温差沿换热器变化，因此传热方程使用其对数平均值：Q̇ = U·A·ΔTlm，其中 ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)，ΔT₁ 和 ΔT₂ 为两端温差。进出口温度相同时，逆流的 ΔTlm 大于并流。

换热器 (LMTD)有哪些常见错误？
  • 温差按指数规律衰减：T<sub>s</sub> − T<sub>c,out</sub> = (T<sub>s</sub> − T<sub>c,in</sub>)·e−UA/(ṁc<sub>p</sub>)。
换热器 (LMTD)练习包括哪些内容？
  • 简单: LMTD
  • 中等: 所需面积
  • 困难: 完整设计

每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。

练习方式

  • 每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。
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