Massenbilanz: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

Kostenlose Übungsaufgaben zu Massenbilanz mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: zwei Ströme mischen, auf einen Zielwert mischen, Verdampfer.

Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
MischerStrom 1450 kg/h · 25% SalzStrom 2700 kg/h · 15% SalzStrom 3ṁ₃ = ? kg/h

Zwei Lösungen von Salz werden stationär gemischt. Bestimme den Massenstrom am Austritt ṁ3.

ṁ1 = 450 kg/hx1 = 25 %ṁ2 = 700 kg/hx2 = 15 %
kg/h
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Was du übst

  1. Leichtzwei Ströme mischen
  2. Mittelauf einen Zielwert mischen
  3. SchwerVerdampfer

Wichtige Formeln

Stationärer Zustand
Eingang = Ausgang
Gesamtbilanz
ṁ1 + ṁ2 = ṁ3
Komponentenbilanz
ṁ1x1 + ṁ2x2 = ṁ3x3
Verdampfer
F·xF = P·xP, W = F − P

Massenbilanz von Grund auf lernen

1Was eine Massenbilanz ist

Masse kann weder entstehen noch verschwinden. Alles, was in eine verfahrenstechnische Einheit (einen Mischer, einen Tank, einen Verdampfer) hineinfließt, muss wieder herausfließen oder drinbleiben.

Viele Einheiten laufen im stationären Zustand: Die Ströme ändern sich nicht mit der Zeit, und nichts staut sich im Inneren an. Dann ist die Regel einfach:

zu = ab

Stell dir eine Badewanne mit offenem Hahn und gezogenem Stöpsel vor. Bleibt der Wasserstand gleich, entspricht das Wasser, das jede Minute abfließt, dem Wasser, das einfließt.

Ströme werden als Massenströme ṁ geschrieben, zum Beispiel in kg/h. Lies ṁ als „m-Punkt“: Der Punkt bedeutet „pro Zeiteinheit“.

Selbsttest Ein Mischer im stationären Zustand erhält 300 kg/h und 200 kg/h. Wie viel verlässt ihn?
  1. 100 kg/h
  2. 250 kg/h
  3. 500 kg/h
  4. 600 kg/h

Antwort: 500 kg/h. Im stationären Zustand staut sich nichts an, also ist aus = ein = 300 + 200 = 500 kg/h. 250 kg/h ist der Mittelwert, der hier keine Bedeutung hat.

2Gesamt- und Komponentenbilanzen

Ein Strom ist oft ein Gemisch, zum Beispiel Salz in Wasser gelöst. Der Massenanteil x ist der Anteil einer Komponente: 20 % Salz bedeutet 0,20 kg Salz in jedem kg Lösung.

Die Masse dieser Komponente in einem Strom ist ṁ·x. Ohne chemische Reaktion gilt auch für jede Komponente ein = aus. Du kannst also zwei Bilanzen aufstellen:

ṁ1 + ṁ2 = ṁ3
ṁ1·x1 + ṁ2·x2 = ṁ3·x3

Die erste ist die Gesamtbilanz, die zweite die Komponentenbilanz (hier für Salz). Zwei unabhängige Gleichungen können zwei Unbekannte bestimmen.

Beispiel: 300 kg/h mit 10 % Salz werden mit 200 kg/h mit 20 % Salz gemischt. Salz ein: 30 + 40 = 70 kg/h. Gesamt aus: 500 kg/h. Also x3 = 70/500 = 14 %.

Selbsttest Mische 300 kg/h Salzlösung mit 10 % und 200 kg/h Salzlösung mit 20 %. Wie groß ist der Salzanteil des Gemischs?
  1. 14%
  2. 15%
  3. 30%
  4. 7%

Antwort: 14%. Salz ein = 300·0,10 + 200·0,20 = 70 kg/h, und 70/500 = 14 %. Der einfache Mittelwert der Anteile, 15 %, ignoriert, dass der Strom mit 10 % größer ist.

3Der Verdampfer: eine Bindekomponente

Ein Verdampfer kocht Wasser aus einer Lösung ab, um sie zu konzentrieren. Der Dampf W ist reines Wasser, daher verlässt der gesamte gelöste Stoff mit dem Produkt P den Verdampfer.

F1000 kg/h · 10%P40%W0%

Der gelöste Stoff läuft unverändert nur von F nach P. Eine solche Komponente heißt Bindekomponente: Ihre Bilanz verbindet zwei Ströme direkt.

F·xF = P·xP, W = F − P

In der Abbildung: P = 1000 · 0,10/0,40 = 250 kg/h, und W = 1000 − 250 = 750 kg/h Wasser verdampfen.

Selbsttest Ein Verdampfer nimmt 1000 kg/h einer Zuckerlösung mit 10 % auf und erzeugt ein Produkt mit 40 %. Wie viel Wasser wird verdampft?
  1. 250 kg/h
  2. 300 kg/h
  3. 4000 kg/h
  4. 750 kg/h

Antwort: 750 kg/h. Zuckerbilanz: P = 1000·0,10/0,40 = 250 kg/h. Dann W = 1000 − 250 = 750 kg/h. 250 kg/h ist das Produkt, nicht das entfernte Wasser.

4Das Verfahren Schritt für Schritt

  1. Zeichne einen Kasten für die Einheit mit jedem Strom als Pfeil. Schreibe jeden bekannten Strom und Anteil daneben.
  2. Markiere die Unbekannten. Zähle sie: Du brauchst ebenso viele unabhängige Bilanzen.
  3. Stelle die Gesamtbilanz auf: Summe der zufließenden Ströme = Summe der abfließenden Ströme.
  4. Stelle die Komponentenbilanz für den gelösten Stoff auf: Summe von ṁ·x ein = Summe von ṁ·x aus. Verwende Anteile als Dezimalzahlen (20 % = 0,20) oder auf beiden Seiten als Prozent.
  5. Löse. Beginne mit einer Bindekomponente, falls es eine gibt.
  6. Kontrolle: Setze die Zahlen wieder in beide Bilanzen ein.

5Ein durchgerechnetes Beispiel

Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.

Durchgerechnetes Beispiel

Strom 1 sind 400 kg/h einer Salzlösung mit 10 %. Wie viel von Strom 2 (40 % Salz) muss jede Stunde zugegeben werden, damit das gemischte Produkt 20 % Salz enthält? Bestimme ṁ2.

1

Die Einheit zeichnen

ṁ₁ = 400 kg/h10%ṁ₂ = ?40%ṁ₃20%

Es gibt zwei Unbekannte, ṁ2 und ṁ3, wir brauchen also zwei Bilanzen.

2

Gesamtbilanz

ṁ3 = 400 + ṁ2
3

Salzbilanz

400 · 0,10 + ṁ2 · 0,40 = (400 + ṁ2) · 0,20
40 + 0,40·ṁ2 = 80 + 0,20·ṁ2
4

Lösen

0,20·ṁ2 = 40 ⇒ ṁ2 = 200 kg/h

Dann ist ṁ3 = 400 + 200 = 600 kg/h.

5

Antwort prüfen

Salz ein: 40 + 200 · 0,40 = 120 kg/h. Salz aus: 600 · 0,20 = 120 kg/h. Beide Bilanzen gehen auf.

Die angestrebten 20 % liegen zwischen 10 % und 40 %, wie es bei einer Mischung sein muss.

Antwort

Gib ṁ2 = 200 kg/h der Lösung mit 40 % zu.

6Häufige Fehler

  • Die Anteile mitteln, statt sie nach dem Strom zu gewichten.
  • Nur die Gesamtbilanz aufschreiben und die zweite Unbekannte dann raten.
  • Prozent und Dezimalzahlen in derselben Gleichung mischen.
  • Beim Verdampfer das Produkt P angeben, wenn das verdampfte Wasser W gefragt ist, oder umgekehrt.
  • Das Verhältnis der Bindekomponente auf den Kopf stellen: P = F·xF/xP, also ist P kleiner als F.
Selbsttest Mische 100 kg/h einer Lösung mit 10 % mit 300 kg/h einer Lösung mit 30 %. Wie groß ist der Anteil am Austritt?
  1. 20%
  2. 25%
  3. 33,3%
  4. 40%

Antwort: 25%. Gelöster Stoff aus = 100·0,10 + 300·0,30 = 100 kg/h, und 100/400 = 25 %. Der einfache Mittelwert von 10 % und 30 % ist 20 %, was ignoriert, dass der Strom mit 30 % dreimal so groß ist.

7So sehen Prüfungsaufgaben aus

  • Leicht: zwei Ströme werden gemischt. Bestimme den Austrittsstrom (Gesamtbilanz) oder seinen Anteil (Komponentenbilanz).
  • Mittel: Mischen auf einen Zielanteil. Bestimme den Strom des zweiten Stroms mit beiden Bilanzen, wie im Beispiel.
  • Schwer: ein Verdampfer. Verwende den gelösten Stoff als Bindekomponente, um P zu bestimmen, dann W = F − P.

Eine Abkürzung beim Mischen: ṁ2 = ṁ1·(x1 − x3)/(x3 − x2). Im Beispiel: 400·(10 − 20)/(20 − 40) = 200 kg/h.

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Beispielaufgaben

Beispiel 1Leicht
MischerStrom 1300 kg/h · 30% SalzStrom 2250 kg/h · 40% SalzStrom 3x₃ = ? %

Zwei Lösungen von Salz werden stationär gemischt. Bestimme den Massenanteil von Salz am Austritt x3.

ṁ1 = 300 kg/hx1 = 30 %ṁ2 = 250 kg/hx2 = 40 %

Gesucht: x3 (%)

Tipps anzeigen
  1. Im stationären Zustand gilt: Was hineingeht, kommt heraus. Stelle eine Gesamtbilanz und eine Bilanz für die gelöste Komponente auf.
  2. Gesamt: ṁ₁ + ṁ₂ = ṁ₃. Komponente: ṁ₁x₁ + ṁ₂x₂ = ṁ₃x₃.
  3. ṁ3 = 550 kg/h.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Stationäre Massenbilanz: Eingang = Ausgang, für die Gesamtmasse und getrennt für jede Komponente (ohne Reaktion).

Gesamtbilanz

ṁ3 = ṁ1 + ṁ2 = 300 + 250 = 550 kg/h

Salz-Bilanz

ṁ1x1 + ṁ2x2 = ṁ3x3
x3 = (300·30 + 250·40)/550 = 34,55 %

Antwort

x3 = 34,55 %
Beispiel 2Mittel
MischerStrom 1850 kg/h · 50% ZuckerStrom 2ṁ₂ = ? · 15% ZuckerProdukt40% Zucker

Wie viel von Strom 2 muss stündlich zu Strom 1 gegeben werden, damit das Gemisch 40 % Zucker enthält? Bestimme ṁ2.

ṁ1 = 850 kg/hx1 = 50 %x2 = 15 %x3 = 40 %

Gesucht: ṁ2 (kg/h)

Tipps anzeigen
  1. Zwei Unbekannte (ṁ₂ und ṁ₃) brauchen zwei Bilanzen: gesamt und Komponente.
  2. Setze ṁ₃ = ṁ₁ + ṁ₂ in ṁ₁x₁ + ṁ₂x₂ = ṁ₃x₃ ein.
  3. Umgestellt: ṁ₂ = ṁ₁(x₁ − x₃)/(x₃ − x₂).
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Stationäre Massenbilanz: Eingang = Ausgang für die Gesamtmasse und für jede Komponente. Mischaufgaben verbinden beides.

Bilanzen

Total: ṁ3 = ṁ1 + ṁ2
Zucker: ṁ1x1 + ṁ2x2 = (ṁ1 + ṁ2)x3

Nach ṁ2 auflösen

ṁ2 = ṁ1(x1 − x3)/(x3 − x2) = 850·(50 − 40)/(40 − 15) = 340 kg/h

Antwort

ṁ2 = 340 kg/h
Beispiel 3Schwer
VerdampferZulauf F2000 kg/h · 10% NaOHProdukt P65% NaOHBrüden W (reines Wasser)W = ? kg/h

Ein Verdampfer konzentriert eine Lösung von NaOH, indem er reines Wasser abdampft. Bestimme die verdampfte Wassermenge W in kg/h.

F = 2000 kg/hxF = 10 %xP = 65 %

Gesucht: W (kg/h)

Tipps anzeigen
  1. Der Dampf enthält keinen gelösten Stoff, daher verlässt der ganze gelöste Stoff aus dem Zulauf die Anlage mit dem Produkt.
  2. Bilanz des gelösten Stoffs: F·xF = P·xP. Dann die Gesamtbilanz: F = W + P.
  3. P = 307,7 kg/h.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Bezugskomponente: Eine Komponente, die unverändert in nur einem Strom durchläuft (hier der gelöste Stoff), verknüpft die Ströme direkt. Die Gesamtbilanz liefert den Rest.

Bilanz des gelösten Stoffs

F·xF = P·xP → P = 2000·10/65 = 307,7 kg/h

Gesamtbilanz

W = F − P = 2000 − 307,7 = 1692 kg/h

Antwort

W = 1692 kg/h

Fragen und Antworten

Massenbilanz: Worum geht es?

Masse kann weder entstehen noch verschwinden. Alles, was in eine verfahrenstechnische Einheit (einen Mischer, einen Tank, einen Verdampfer) hineinfließt, muss wieder herausfließen oder drinbleiben.

Viele Einheiten laufen im stationären Zustand: Die Ströme ändern sich nicht mit der Zeit, und nichts staut sich im Inneren an. Dann ist die Regel einfach:

Massenbilanz: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?

Stationäre Massenbilanz: Eingang = Ausgang, für die Gesamtmasse und getrennt für jede Komponente (ohne Reaktion).

Massenbilanz: Was wird geübt?
  • Leicht: zwei Ströme mischen
  • Mittel: auf einen Zielwert mischen
  • Schwer: Verdampfer

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So funktioniert das Üben

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  • Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
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